4. 最小生成樹

4.1 生成樹

（1）定義：所有頂點均由邊連線在一起，但不存在迴路的圖叫該圖的生成樹
（2）深度優先生成樹與廣度優先生成樹

（3）

4.2 最小生成樹

生成樹的每條邊上的權值之和最小。

例項：在N個城市之間修路，總路線的總和最小問題。

4.2.1 Prim方法

設N=(V,{E})是連通網，TE是N上最小生成樹中邊的集合：
（1）初始令U={u0},(u0屬於V), TE=NULL
（2）在所有u屬於U,v屬於V-U的邊(u,v)屬於E中，找一條代價最小的邊(u0,v0)
（3）將(u0,v0)併入集合TE，同時v0併入U
（4）重複上述操作直至U=V為止，則T=(V,{TE})為N的最小生成樹

4.2.2 Kruskal演算法

設連通網N=(V,{E})，令最小生成樹
（1）初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖T=(V,{NULL})，每個頂點自成一個連通分量
（2）在E中選取代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T中不同的連通分量上，則將此邊加入到T中；否則，捨去此邊，選取下一條代價最小的邊
（3）依此類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止

5.拓撲排序和 關鍵路徑

5.1 拓撲排序

拓撲排序的基礎：有向無環圖，它是描述一項工程進度的有效工具。

5.1.1 AOV網

用頂點表示活動，用弧表示活動間優先關係的有向圖稱為頂點表示活動的網(Activity On Vertex network)，簡稱AOV網

5.1.2 拓撲排序演算法

（1）在有向圖中選一個沒有前驅的頂點且輸出之
（2）從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的弧
（3）重複上述兩步，直至全部頂點均已輸出；或者當圖中不存在無前驅的頂點為止

5.2 關鍵路徑

在AOV網中，完成工程的最短時間：從開始點到完成點的最長路徑長度——關鍵路徑。

Ve(j)——表示事件Vj的最早發生時間
Vl(j)——表示事件Vj的最遲發生時間
e(i)——表示活動ai的最早開始時間
l(i)——表示活動ai的最遲開始時間
l(i)-e(i)——表示完成活動ai的時間餘量

6. 最短路徑

最短路徑：路徑上所有邊的權值之和最小。

6.1 某頂點到其它個點的最短路徑

Dijkstra演算法：

（1）初使時令 S={V0},T={其餘頂點}，T中頂點對應的距離值
（2）若存在<V0,Vi>，為<V0,Vi>弧上的權值
（3）若不存在<V0,Vi>，為無窮
（4）從T中選取一個其距離值為最小的頂點W，加入S
（5）對T中頂點的距離值進行修改：若加進W作中間頂點，從V0到Vi的距離值比不加W的路徑要短，則修改此距離值
（6）重複上述步驟，直到S中包含所有頂點，即S=V為止

6.2 每對頂點之間的最短路徑

Floyd演算法：

（1）初始時設定一個n階方陣，令其對角線元素為0，若存在弧<Vi,Vj>，則對應元素為權值；否則為無窮
（2）逐步試著在原直接路徑中增加中間頂點，若加入中間點後路徑變短，則修改之；否則，維持原值
（3）所有頂點試探完畢，演算法結束