題目描述

有一個 $n\times n$ 的矩陣，每個位置 $(i,j)$ 如果是 . 表示為白色，如果是 # 表示為黑色。

初始時，每個位置可以是黑色或白色的，$(i,j)$ 位置的值會作為 ai,j a_{i, j}a​i,j​​ 給你。

現在有一種操作，選擇兩個整數 $i,j\in [1,n]$，記 $(i,1),(i,2),\dots ,(i,n)$ 的顏色為 C1,C2,…Cn C_1, C_2, \ldots C_n

你的任務是將整個矩陣變成全黑，如果能夠辦到，輸出最少步數，否則輸出 $-1$。

        一道看起來沒有什麼演算法的題，似乎就只能去推結論了。

        最先開始我們可以發現，如果有一個黑點，那麼把它複製到與它相關的每一列，可以構造出來一個全黑行，這個全黑行還可以把每一列去覆蓋，所以如果至少有一個黑點這題就是有解的。

        下面第一步先按列考慮，首先如果一列含有白色格點，那麼這一列肯定需要被塗至少一次，所有設有白色格點的列共為tot列則至少需要被塗tot次。

        第二步再按行考慮，對於每一行來說，這一行是可以給任何一列塗的，由題意可知，那麼如果有一行全黑，那麼它只需要將第一步所考慮的tot列一塗，即可完成了，所以我們下面假設沒有一行是全黑。

       由於用不是全黑的行來專心塗列是沒有意義的，因為還會引進新的白點，所以我們可以列舉將哪一行構造為全黑，然後加上tot即可。

       假設當前在第i行，那麼

       （1）如果第i列至少有一個黑色的，那麼它必定可以轉移到第i行的任意一個位置，所以由於一次只能去覆蓋一列，所以

        （2）如果第i列是一個全白的列，我們並不能通過第i列的任何一個值來將第i行的空缺補成黑色，而又因為至少有一個黑點，所以肯定可以通過一次賦顏色，使第i列有一個黑店，然後與（1）同理，只多了一個步驟，所以如果第i列沒有黑點，則這一行變為全黑的次數為x+1。

       綜上，最終答案就是tot（有白色格點的行數）+min(hang[i]（第i行白色格點的個數）+!hang[i]（第i行是否全為白點）)

      下附AC程式碼

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 1005
using namespace std;
int n,flag,tot;
char s[maxn][maxn];
int lie[maxn],hang[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",s[i]+1);
		int flag1=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(s[i][j]=='#') 
			flag=1,hang[i]++,lie[j]=true;
			if(s[i][j]=='.')
			flag1=1;
		}
		tot+=flag1;
	}
	if(!flag){printf("-1\n");return 0;}
	int ans=123456789;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ans=min(ans,tot+n-hang[i]+!lie[i]);
	printf("%d\n",ans);
}