帶權圖分為有向和無向，無向圖的最短路徑又叫做最小生成樹，有prime演算法和kruskal演算法

生成樹的概念：聯通圖G的一個子圖如果是一棵包含G的所有頂點的樹，則該子圖稱為G的生成樹 生成樹是聯通圖的極小連通子圖。

所謂極小是指：若在樹中任意增加一條邊，則將出現一個迴路；若去掉一條邊，將會使之變成非連通圖。生成樹各邊的權值總和稱為生成樹的權。

權最小的生成樹稱為最小生成樹，常用的演算法有prime演算法和kruskal演算法。這裡僅介紹prime演算法..

演算法描述如下：

1.將所有的結點分成兩個集合。一部分是在最小生成樹中的點（記為集合A），另一部分是不在最小生成樹中的點（即待加入的點，記為集合B）。

2.開始的時候取任意一個點v作為頂點加入最小生成樹中（A），然後遍歷集合B，選取一個點vj使得（v，vj）的權值最小，然後將vj加入A集合，B集合中刪去vj（刪去操作可以用一個intree[i]陣列來進行操作）

3.重複2步驟直到所有點遍歷完畢。

注意：這裡說的重複步驟2是指每次找的與頂點v的邊權值最小的結點！

結合例子來看一下。（如下圖）

選擇1為初始結點，intree[1]標記為1.

遍歷剩下的6個結點，找到（1，vj）中weight最小的那一個，顯然是3，讓3加入集合A，即intree[3]標記為1 

然後注意此時集合A中有了兩個元素（結點1和結點3）開始的時候我認為是從3開始遍歷找3與其他點的最小權值，但是再次注意我們每次只找與頂點（這裡就1結點）邊權值最小的點。

3結點入隊後，1就可以與5結點間接相連了，所以每次在A中加入一個結點，都要更新頂結點與其他結點的關聯與否以及權值。

這一點非常重要是演算法的重要步驟。

正如此時（1,5） = 8  （1,4） = 5 （1,2） = 6 ，顯然下一次應該加入A集合的是點4，所以：

接下來就是：

附上程式碼及測試樣例。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 10
#define INF  100000
int node;
int G[maxn + 1][maxn + 1];/*構建的圖,必須是一個無向連通賦權圖,G[i][j]存取權值*/ 
int intree[maxn];/*結點i在最小生成樹中*/ 
int minweight[maxn];/*到i點的最小權重*/ 
int sumweight;

void initialize()
{
	memset(intree,0,sizeof(intree));
	memset(minweight,0,sizeof(minweight));
	for(int i = 0 ; i <= maxn ; i++)
		for(int j = 0 ; j <= maxn ; j++)
			G[i][j] = INF;
	sumweight = 0;
}
void prime(int n)
{
	int node,Minweight;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		minweight[i] = G[1][i];
	/*先把1結點放進最小生成樹，那麼要知道1到其餘結點的最小權重*/
	intree[1] = 1;/*1點進入集合A,最小生成樹集*/ 
	for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
	/*一共n個點，已經把1加入最小生成樹，那麼還剩下n-1個點*/ 
	{
		Minweight = INF;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
		{
			if(minweight[j] < Minweight && !intree[j])
			{
				Minweight = minweight[j];
				node = j;
			}
		}
		printf("選擇的結點標號為：%d\n",node); 
		intree[node] = 1;
		sumweight += Minweight;
		/*每次在A中加入新的點，更新頂結點到各節點的權重*/ 
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
			if(!intree[j] && minweight[j] > G[node][j])
			/*更新B集合*/ 
				minweight[j] = G[node][j]; 
	}
}
int main()
{
	int Node,Edge;
	int vertex1,vertex2,weight;
	
	initialize();
	scanf("%d%d",&Node,&Edge);
	for(int i = 1 ; i <= Edge ; i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&vertex1,&vertex2,&weight);
		G[vertex1][vertex2] = weight;
		G[vertex2][vertex1] = weight;
	}
	prime(Node);
	printf("%d\n",sumweight);
	return 0;
}
/*
7 9
1 2 6
1 3 2
1 4 5
2 5 2
2 7 4
3 5 8
4 6 7
4 7 5
5 6 10
答案是25 
*/