本篇摘要

本篇介紹一個非常給力的求組合的演算法！上一篇“c_c++刁鑽問題各個擊破之位運算及其例項(2)”介紹了6個比較複雜的位操作，但是沒有給出任何應用例項，本篇就之前談到的位操作進行應用，其主要內容是用位操作來實現求組合。

引例

先來看一道題目，這個題目是理解利用位操作求組合的關鍵。。英文原題就不貼了，我用中文描述一下吧：給定一個正整數N，求最小的、比N大的正整數M，使得M與N的二進位制表示中有相同數目的1。

上面的題目描述或許有點拗口，舉個例子把，假如給定的N為78，其二進位制表示為1001110，包含4個1，那麼最小的比N大的並且二進位制表示中只包含4個1的數是83，其二進位制是1010011，因此83就是答案。那麼如何求解這個問題呢？

(2) 非常給力的方法

即將要介紹的方法到底有多給力呢？它神奇到只用如下幾行程式碼(事實上可以合併為一行程式碼)就能實現上述所有程式碼的功能，這幾行程式碼是：

1. [cpp] view plaincopyprint?  
2. int NextN(int N)    
3. {    
4.     int x = N&(-N);          
5.     int t = N+x;    
6.     int ans = t | ((N^t)/x)>>2;    
7.     return ans;    
8. }    

 看到了不，這就是所有程式碼，如果省去臨時變數，它就只包含一行程式碼，但是為了後面講述方便，我將它寫成三行程式碼。它的強大之處並非只是程式碼少，如你所見，它無需呼叫count1Bits函式(效率！

如果您是大牛，請不要笑話我在這裡的大驚小怪，如果你跟兩三天前的我一樣不懂這幾句程式碼的話，那麼請往下看，我將嘗試著把我的理解詳細的表述出來，力求細緻，簡單，易懂。

以N=78為例(其二進位制表示為1001110)，我們的任務是求得最小的比N大，二進位制表示中1的個數與N相同的數：83(其二進位制表示為1010011)。首先我們要總結出來從78變成83的規律，為了方便，將78和83的二進位制寫成豎式形式：

78：1 0 0 1 1 1 0

83：1 0 1 0 0 1 1

可以看出，為了得到83，我們只需要對N(78)的二進位制中最右邊的連續的1位串(加粗標紅)進行操作！其過程是：將連續的1位串中最左邊的1向左“移動”一位，其他的1位串“移動”到最右邊！這即保證了二進位制表示中1的個數不變，又保證了新得到的數比原來的數大，並且是最小的。其過程可以用如下圖示表示：

在上面的描述中我用引號把兩個“移動”引起來了，原因是，具體實現時，我們並不是對這些二進位制位進行移動，而是通過位操作來達到同樣的目的，而這些位操作就是本問題的關鍵。接下來我將分析前面那個“非常給力的程式碼”看看它是如何用位操作來實現對這些位的“移動”的。

首先來看語句int x = N&(-N);它的功能是找到N(即78)的二進位制表示中最右邊的1(這個1必定是N的二進位制表示中最右邊的連續的1位串的開始)。該過程圖示如下：

接下來看看int t = N+x;該語句實現了“將連續的1位串中最左邊的1向左“移動”一位”的功能，當然它帶來了副作用：使得連續的1位串中其他的1丟失了！其過程如下：

       最後的任務就是要將上面丟失的1補上，並放到最右邊，這就是語句int ans = t | ((N^t)/x)>>2;的功能。首先，要知道需要補多少個1，通過分析可以知道需要補上的1的個數等於N的二進位制表示中最右邊的連續的1位串中1的個數減1，然而如果通過位操作來求得呢？這就是N^t的功能了，如下圖所示，N^t的二進位制表示只包含1個連續的1串，並且1的個數正好等於N的二進位制表示中最右邊的連續的1位串中1的個數加1：

由上面的分析可知，N^t中的1的個數實際上比我們需要補的1的個數多2！這就使得我們可以通過N^t求得需要補的1的個數，接下來的任務就是如何補上這些1了。

進步一分析得知，N^t的二進位制表示中最低位的1正好與x中那個1對應，因此我們就可以通過(N^t)/x將這些1全部移到最右邊了，然而此時1的個數比我們要補的個數多了2，沒關係我們在把結果右移2位就可以了，也就是((N^t)/x)>>2。如此一來我們求得了要補的1的個數和其位置。本段的描述可以用下圖形象地表示：

最後我們只需要用t | ((N^t)/x)>>2;就能得到所求之數了！其過程如下圖：

以上就是我對這個非常給力的程式碼的分析。短短3句程式碼(省去中間變數的話，就一句程式碼)居然包含了如此之多的東西，這就是位運算的強大之處，也是位運算的難學之處。本人以前也很少關注位運算，像這樣給力的程式碼我是寫不出來的，因此我也只能按照如上步驟那麼去讀懂這個程式碼。至此，本篇的引例算是完成了，不可思議吧，為了求組合，我居然用了這麼多篇幅來講一個引例，這會不會本末倒置啊？我自信不會的，因為有了這個引例，下面求組合就太easy了。

本篇主題：利用位操作求組合

組合就是從N各物件中選取m個物件，問有多少種選法，並且要求輸出每次的選法。比如給定1,2,3,4四個數，從中選擇2個的選法有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6種選法。當然求組合的方法非常之多，我這裡只介紹如何利用位操作來求，其思路是：用2進位制bit位來標識某個物件是否被選中，1代表選中，0代表沒選中。比如前面的例子的組合可以用下圖來表示(最低位為1表示選中第一物件，以此類推)。

根據上面的分析，我們可以用一個包含N個bit位的數C來求N個物件中選取m個物件的組合：首先讓C的最低m位全部為1(對應到從N個物件中選擇前m個物件的組合情況)，然後用我們引例的方法求出最小的比C大並且二進位制表示中包含的1的個數與C相同的數K,就能求得下一個組合情況。其流程如下：

1、  初始化C=(1<<m)-1；(選擇N個物件中的前m個作為第一個組合)；

2、  根據C的二進位制表示輸出其所對應的組合；

3、  呼叫C=NextN(C);

4、  通過判斷C是否小於等於(1<<N)-(1<<(N-m))來確定是不是輸出了所有的組合(注意，當C==(1<<N)-(1<<(N-m))時，C就對應著從N個物件中選擇後m個物件的組合情況，也就是最後一個組合)，如果C小於等於(1<<N)-(1<<(N-m))，則轉2，否則轉5；

5、  結束（已經輸出所有組合）。

上面流程中的關鍵部分我都標粗了，如果對該流程有疑問，可以與我聯絡([email protected])。下面我將根據上面的流程給出程式碼：

1. #include <stdio.h>  
2. #include"iostream"  
3. usingnamespace std;    
4. //定義包含4個元素的集合   
5. char set[] ={'a','b','c','d','e','f','g','h','i'};    
6. //根據C的二進位制表示輸出一個組合   
7. void print(char* set,int C)    
8. {    
9.     int i = 0;    
10.     int k;    
11.     while((k=1<<i)<=C)    
12.     {//迴圈測試每個bit是否為1   
13.         if((C&k)!=0)    
14.         {    
15.             cout<<set[i];    
16.         }    
17.         i++;    
18.     }    
19. }     
20. //這個NextN跟之前我們討論的是一樣的，只不過省去了臨時變數   
21. int NextN(int N)    
22. {    
23.     return (N+(N&(-N))) | ((N^(N+(N&(-N))))/(N&(-N)))>>2;    
24. }     
25. //求從set中前N個元素 中選擇m個的組合   
26. void Combination(char* set,int N,int m)    
27. {    
28.     int C = (1<<m)-1;    
29.     while(C<=((1<<N)-(1<<(N-m))))    
30.     {    
31.         print(set,C);    
32.         cout<<endl;    
33.         C = NextN(C);    
34.     }         
35. }                  
36. void main()    
37. {    
38.     Combination(set,4,2);    
39. }      

上面的程式碼在VC6.0中測試通過，其執行結果如下：

       最後，或許您對Combination函式中的while中的條件表示式：C<=((1<<N)-(1<<(N-m)))不理解，那麼請看下圖，該圖示意了最後一個組合所對應的C，其值正好等於(1<<N)-(1<<(N-m))

分析

由於我這裡沒有給出求組合數的其他演算法，因此無法對該演算法與其他演算法的效能做對比，有興趣的朋友可以做一個對比。事實上這個演算法的效率相當之高，因為它直接根據前一個組合一步就能求得後面一個組合。當然它也並非沒有一點瑕疵，我個人認為它有兩點不足：

1、  由於它需要用一個整數的二進位制位來標識哪些物件被選中，而整數是有範圍的，因此如果N比較大(大於32)，那麼該演算法就不能直接利用了。

2、  得到的組合並非有序的，如上面的結果所示輸出ac之後並非輸出ad，而是bc，其原因是NextN(N)函式，它返回的是“最小的、比N大的、二進位制表示中1的個數與N相同的數”然而這個約束並不能保證根據它求得的組合是有序的。如果一定要求有序的組合，那麼，可以修改NextN這個函式，但本文的核心就是它，因此修改它很可能就失去了意義，當然您可以想出另外一個位運算，在不損失效率的情況下改變NextN的功能，從而得到有序的組合，這個也是我在思考的問題。

結束語

到此本篇即將結束，個人感覺對引例說得比較清晰透徹，如果您有不清楚的地方或者發現有不妥之處，請留言，最後感謝您的閱讀！