分治演算法中的可優化點(三)
但是，經過觀察和演算，設計M1，M2，…，M7，對應7個子問題：
矩陣的Coppersmith-Winograd演算法目前最好的，上界是O(n^2.376)，矩陣乘法作為一項基礎的運算其應用廣泛，例如：科學計算，影象處理，資料探勘，迴歸、聚類、住成分分析、決策樹等挖掘演算法涉及大規模矩陣運算。
這個策略可能會使劃分和合並子問題的工作量d(n)增加，但增加的工作量不影響W(n)的階。
途徑二：降低d(n)的階，增加預處理
增加預處理幹什麼？有毛用？在分治之前，可以通過預處理一些資料來降低d(n)的階，使得每次遞迴的時候d(n)不會帶來一些過多的時間開銷。
例：一個幾何計算中的例子，找出一塊平面點集P內的最近點對，設有n個點，n>1
普通演算法：在所有點中依次不重複地選擇一對點計算距離，然後比較大小，得到最小距離的一對點，時間複雜度為組合數C(n,2)=n(n-1)/2，O(n^2)
分治演算法的大致思路：
- 將P劃分為大小均等的2個點集PL，PR
- 分別遞迴計算點集PL，PR的最近點對
- 計算PL，PR各出一點組成的最近點對
- 綜合2,3兩種情況裡的最近點對
當n=10時的一個可能樣圖，垂直x軸的紅色垂線是一個可能的劃分，如下：
演算法的偽碼錶示：
輸入：點集P，X為所有點的x座標陣列，Y為所有點的y座標陣列
輸出：最近的兩個點以及距離
minDistance(P，X，Y)
- 若|P|<=3，直接計算其距離
- 排序X，Y
- 用中垂線l將P分為PL，PR
- δl = minDistance(PL，XL，YL)
- δr = minDistance(PR，XR，YR)
- δ=min{δl , δr }
- 計算距離中垂線l兩側不超過δ的帶狀平面內的點集的最近點對，若小於δ，則以其改之。
第7步有點玄乎，有疑義，估計有改進的地方，下面來看看怎麼處理比較好，先看一張圖：
上圖中說明了，圖中的點只和綠色區域所圈的點比較，和除此之外的點比較沒有意義，因為除此之外的點一定大於第6步確定的δ，那麼綠色區域是怎確定的呢？寬δ是距離中線的長度，2δ是以圖中點的y座標為準，上漲δ下垂δ包括邊界而來，所以在與異側的點計算距離的時候，只選取在綠色區域內的點計算即可，若果圖中Y座標向上為正值增大方向的話，即圖中的點只和異側y座標不超過y+δ的點進行計算，又因為每次傳入的Y陣列會被排序，所以一次從Y陣列中確定y座標不超過y+δ的6個連續的點來進行計算，當然排序後的X，Y陣列有一個對應關係序列，為什麼6個點？上圖中已經說得很明白。
時間複雜度分析：
- 步1 最小子問題的求解：O(1)
- 步2 排序：O(nlgn)，數量大時使用快速排序好點
- 步3 劃分：O(1)
- 步4-5 分解成子問題處理：2T(n/2)
- 步6 比較：O(1)
- 步7 計算帶狀平面內的點集的最近點對：O(n)，帶狀區域被中垂線一分2半，一半的點最多n/2個，而且每個點的計算距離次數是6次，則帶狀區域裡計算最近點對的時間複雜度是O(6*n/2) = O(n)
所以綜上所述的時間複雜度有：T(n)= 2T(n/2)+O(nlgn)，T(2)=T(3)=O(1)，因為O(1)+O(nlgn)+ O(1)+ O(1) +O(n)= O(nlgn)；對以上遞推式進行遞迴樹求解有T(n)=O(n(lgn)^2)，比較普通演算法，有了改進，但還是沒有到本講的精華部分。
我們看到每次遞迴都會 對X，Y進行排序，成為了d(n)的主要“貢獻”部分。我們把可以把對X，Y整體的排序放到分治之前來做一次對X，Y的排序，劃分的時候，點集P一分為二PL，PR；X從中一分為二XL，XR；而Y的劃分通過如下偽碼：
時間複雜度分析：
和改進前的分析一樣，只是步2換成了對有序陣列的拆分，這個工作量是O(n)，預處理的工作量是O(nlogn)，所以總的時間複雜度W(n)=T(n)+O(nlogn),T(n)=2T(n/2)+O(n)，T(2)=T(3)=O(1)，遞推式求漸進解有T(n)=O(nlogn)，所以總的時間複雜度W(n)=O(nlogn)+ O(nlogn)，故，W(n)= O(nlogn)，比較改進前的O(n(lgn)^2)要好了很多。
我們把結子放在這裡吧，看了這麼多例子，也不囉嗦了。
分治演算法總結：
- 劃分時要均衡
- 子問題與原問題具有相同的性質，可以用來遞迴
- 遞迴與迭代實現
- 注意遞迴的邊界
- 通過遞推方程來分析時間複雜度
- 對於滿足主定理的第一個結論的條件的遞推式，可以通過減少子問題的個數來優化演算法
- 增加預處理，降低綜合解時的開銷