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分治演算法定理、平面最近點問題

阿新 • • 發佈：2018-11-09

分：遞迴解決較小的問題

治：從子問題構建原問題的解

分治演算法的時間：

定理1：方程T(N)=aT(N/b)+\Theta (N^k)的解是：

O(N^{log_{b}^{a}}),a>b^{k}

O(N^{k}logN),a=b^{k}

O(N^{k}),a< b^{k}

證明用疊縮求和法

定理2：方程T(N)=aT(N/b)+\Theta (N^{k}log^{p}N)的解是

O(N^{log_{b}^{a}}),a> b^{k}

O(N^{k}log^{p+1}N),a=b^{k}

O(N^{k}log^{p}N),a<b^{k}

定理3：若\sum_{i=1}^{k}a_{i}<1，則方程T(N)=\sum_{i=1}^{k}T(a_{i}N)+O(N)的解是T(N)=O(N)

證明：使用數學歸納法，這個方程的意義是，若將原問題分解成若干不到原問題100%的若干個子問題加上合併子問題的線性時間，那麼演算法時間是O(N)

最近點問題：輸入平面上的點列P，若p_{1}=(x_{1},y_{1})，p_{2}=(x_{2},y_{2})，那麼兩點之間的歐幾里得距離是[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2]^{1/2}，找出一對最近的點

一種顯然的方法是遍歷所有點對距離，時間是O(N^2)

若先對x座標排序，那麼花費時間是O(NlogN)，對於要證明總時間是O(NlogN)，不增加時間界

分解問題如下：在二位座標系中畫一條想象的垂線P，將所有點按照x座標分成左右兩個部分P_{L}和P_{R}，那麼距離最近的點對要麼在左邊，要麼在右邊，要麼一個在左邊一個在右邊，這就是一個典型的分治問題，由於想要O(NlogN)解，因此只能用線性附加時間計算橫跨左右的這種距離。

設\delta =min(d_{L},d_{R})，若d_{c}對\delta有改進，那麼一定在P左右的\delta的帶狀區域中，這就減少了需要考慮的橫跨左右的點，平均在帶狀區域中的點的數量是O(\sqrt{N})，因為想象N個點落在一個單位格子中，那麼最均勻的分佈是，長和寬都是\sqrt{N}個點，從而讓兩點之間最小值的最大值為O(\frac{1}{\sqrt{N}})，這就是帶狀區域的寬，其中的點數量就是\sqrt{N}*\frac{1}{\sqrt{N}}，即O(\sqrt{N})，因此可以用O(N)時間進行蠻力計算，程式碼如下：

for (i = 0; i < N; i++)
	for (j = i + 1; j < NumPointsInStrip; i++)
		if (Dist(Pi, Pj) < ans)
			ans = Dist(Pi, Pj);

在最壞的情況下，可能所有點都在帶狀區域中，就不能保證O(N)

時間了，可以改進到最壞O(N)時間，方法是對y座標排序，程式碼如下：

for (i = 0; i < NumPointsInStrip; i++)
	for (j = i + 1; j < NumPointsInStrip; j++)
		if (Pj and Pi's coordinates differ by more than ans)
			break;
		else if (Dist(Pi, Pj) < ans)
			ans = Dist(Pi, Pj);

內層迴圈只有常數個節點需要被考慮，因此是線性時間

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