求 a1,a2,..,an 的逆序對數

一、直接求

直接兩個for迴圈跑  

時間複雜度 O(n^2) 

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<i;j++){
        if(a[i]>a[j]) cnt++;
    }
}

二、樹狀陣列（或線段樹）求

建一個樹狀陣列或線段樹，存每個數出現的個數，每次詢問後加入，數比較大的情況下要離散化。

對於ai來說，它作為逆序對較小部分時的逆序對數 = 在ai前面比ai大的數的個數。

時間複雜度 O(n*logn)

for(int i=1;i<=n;i++){
    ans += Sum(mx) - Sum(a[i]);
    add(a[i]);
}
 

三、分治法求（歸併排序）

可以將整個序列平分為兩個部分分別排序，然後再將其合併，合併過程中計算逆序對數

設分開的兩個序列排序完後分別為a1,a2,..,an/b1,b2,..,bn

合併中要使得新序列有序，若bi<aj 則 bi 要排在aj前面，而bi在初始狀態的位置在aj後面，則逆序對數+(n-j+1)

就是一個二分遞推的過程

時間複雜度 O(n*logn)

void merge(int L,int R){
    int pos1 = L, pos2 = mid+1;
    int b[N],i = L;
    while(pos1<=mid&&pos2<=R){
        if(a[pos1]<=a[pos2]) b[i++] = a[pos1++];
        else {b[i++] = a[pos2++]; ans += mid+1-pos1;}
    }
    while(pos1<=mid) b[i++] = a[pos1++];
    while(pos2<=R) b[i++] = a[pos2++];
    for(int i=L;i<=R;i++) a[i] = b[i];
}
void sort(int L,int R){
    if(L==R) return;
    sort(L,mid); sort(mid+1,R);
    merge(L,R);
}