堆是一種特殊的資料結構，它通常是一個可以被看做一棵樹的陣列物件。

What？那它到底是一棵樹，還是一個數組呢？答案是陣列。這個陣列以二叉樹的形式來維護。注意：這個二叉樹必須是完全二叉樹

堆結構的二叉樹儲存有兩種：

       最大堆：每個父親結點的值都大於孩子結點。

       最小堆：每個父親結點的值都小於孩子結點。

顧名思義，這種結構就是可以根節點為最大的/最小的結點。不過有一點要注意，堆內的元素並不一定是按陣列下標來排序的，很多

初學者會錯誤的認為最大/最小堆中下標為1的就是第一大/小，下標為2的就是第二大/小。。。。。。

你會問，堆既然是一個數組，那麼它如何以二叉樹的形式來儲存呢？——————答案：下標。

我們先來看一棵二叉樹的模型：（這是一棵亂序的完全二叉樹）紅色數字代表結點的值，黑色數字代表結點的下標。

以上，我們可以看出，每個根結點的下標  =  （（左/右）孩子結點下標-1）/2，左孩子結點下標 = （根結點*2）+1，右孩子結點下

標 = （根結點*2）+ 2。這樣我們用陣列以下標

方式就可以很好的儲存一顆樹了（前提是這棵樹必須是完全二叉樹），我們就會得到一個數組 int a [] = {10,16, 18, 12, 11, 13, 15, 17, 14, 19};

下面我開始講如何建立並維護一個堆，以最大堆為例。

假設，我們現在已經有了一個亂序的堆(例上圖)，如何讓它變成最大堆/最小堆呢？————堆的向下調整，向上調整。

向下調整：（調整根結點parent）

我們先要找到陣列中存放的最後一個非葉子結點parent（上圖中的下標為4值為11的結點）。找出它的左孩子leftchild和右孩rightchild

的最大值MaxChild，與父結點parent進行比較，若MaxChild>parent，則將它們倆的值進行交換。然後令parent的下標 = MaxChild下

標。再重複之前的操作。直到leftChild >= 陣列的size。

到這裡，我們才完成了一次向下調整，並不足以構成一個最大堆，在向下調整函式外面我們需要加上一個迴圈，每次向向下調整函式

傳入想調整的根結點。（最後一個非葉子結點只是一個迴圈的‘起點’）

下面看程式碼：

template<typename T>
class Heap
{
public:
	//建堆
	Heap(const T* a, int sz)
	{
		_a.resize(sz);
		for (int i = 0; i < sz; i++)
		{
			_a[i] = a[i];
		}
		for (int i = (_a.size() - 2) / 2; i >= 0; i--)//外層迴圈，每次傳入根結點下標。（_a.size()-2）/2即為最後一個非葉子結點下標。
		{
			AdjustDown(i);
		}
	}
protected:
	//向下調整
	void AdjustDown(int root)
	{
		int parent = root;
		size_t child = parent * 2 + 1;
		while (child < _a.size())//當child>=_a.size()的時候，說明已經越界。
		{
			if (child + 1 < _a.size() && _a[child + 1] > _a[child])
			{
				child++;
			}
			if (_a[child] > _a[parent])
			{
				swap(_a[child], _a[parent]);//交換child與parent
				parent = child;
				child = parent * 2 + 1;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
	}
protected:
	vector<T> _a;//用Vector來代替一個數組
};

再來看向上調整，就簡單的多了。找到你想調整的結點child，找出它的父親結點parent，比較兩個的大小，若child < parent，不操

作。若child > parent, 則交換兩個的值，然後令child的下標 = parent的下標。重複以上操作，直到child的下標 <= 0(說明到達根結點)。

程式碼：

//向上調整
void AdjustUp(int root)
{
	int child = root;
	int parent = (child - 1) / 2;
	Compare com;
	while (child > 0)
	{
		if (!com(_a[child] ,_a[parent]))
		{
			swap(_a[child], _a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

Push插入

每次都插到陣列最後，然後針對這個結點進行一次向上調整。

//插入
void Push(const T& x)
{
	_a.push_back(x);
	AdjustUp(_a.size() - 1);
}

有人可能會想，直接讓陣列向前挪動一位就行了。錯！，如果你這麼做，確實達到了刪除的效果，但是你破壞了整個堆的結構。

正確的做法是將根結點（第一個元素）與最後一個結點（最後一個元素）進行交換，刪除最後一個元素，然後再根結點進行一次向下調整。

//刪除
void Pop()
{
	assert(!_a.empty());
	swap(_a[0], _a[_a.size() - 1]);
	_a.pop_back();
	AdjustDown(0);
}

堆有什麼應用？

1、堆排序，時間複雜度為O（N*lgN），最大堆，從小到大排序。最小堆，從大到小排序。

2、優先順序佇列。

3、大資料篩選，一個檔案中包含了1億個隨機數，如何快速找到最大（小）的100W個數字（時間複雜度為O(N*lgk)）。

【解析】取前100 萬個整數，構造成了一棵陣列方式儲存的具有小頂堆，然後接著依次取下一個整數，如果它大於最小元素亦即堆頂元素，則將其賦予堆頂元素，然後用Heapify調整整個堆，如此下去，則最後留在堆中的100萬個整數即為所求 100萬個數字。該方法可大大節約記憶體。

堆