I needed really fast Gaussian blur for one of my projects. After hours of struggling and browsing the internet, I finally found the best solution.

Beginning

My solution is based on Fast image convolutions by Wojciech Jarosz. Presented ideas are very simple and I don't know who is the original author. I am going to describe it a little better and add some mathematics. To get motivated, take a glance at 

the results. I have implemented this code into Photopea under Filter - Blur - Gaussian Blur.

Definition

The convolution of two 2D functions ff and gg is defined as the volume of product of ff and "shifted" gg. The second function gg is sometimes called "weight", since it determines, how much of f

f will get into the result

The Gaussian blur of a 2D function can be defined as a convolution of that function with 2DGaussian function. Our gaussian function has an integral 1 (volume under surface) and is uniquely defined by one parameter σσ called standard deviation. We will also call it "radius" in the text below.

In our discrete finite case, we represent our 2D functions as matrices of values. We compute the volume (integral) as a sum. Gaussian function has near to zero values behind some radius, so we will use only the values −r≤x≤r,−r≤y≤r−r≤x≤r,−r≤y≤r. This "useful" part of weight is also called the kernel.The value of convolution at [i, j] is the weighted average, i. e. sum of function values around [i, j] multiplied by weight.

Algorithm 1

For a general discrete convolution of ff and weight function ww, we can compute the result bbas:

b[i,j]=∑y=i−ri+r∑x=j−rj+rf[y,x]∗w[y,x]b[i,j]=∑y=i−ri+r∑x=j−rj+rf[y,x]∗w[y,x]

For gaussian weight, we can compute only weights around [i, j] (area of 4⋅r24⋅r2). When our matrix has nn values, the time complexity is O(n⋅r2)O(n⋅r2). For large radii, e. g. r=10r=10, we have to do n∗400n∗400 operations, which correspond to 400 loops over the whole matrix and that is ugly.

// source channel, target channel, width, height, radius
function gaussBlur_1 (scl, tcl, w, h, r) {
    var rs = Math.ceil(r * 2.57);     // significant radius
    for(var i=0; i<h; i++)
        for(var j=0; j<w; j++) {
            var val = 0, wsum = 0;
            for(var iy = i-rs; iy<i+rs+1; iy++)
                for(var ix = j-rs; ix<j+rs+1; ix++) {
                    var x = Math.min(w-1, Math.max(0, ix));
                    var y = Math.min(h-1, Math.max(0, iy));
                    var dsq = (ix-j)*(ix-j)+(iy-i)*(iy-i);
                    var wght = Math.exp( -dsq / (2*r*r) ) / (Math.PI*2*r*r);
                    val += scl[y*w+x] * wght;  wsum += wght;
                }
            tcl[i*w+j] = Math.round(val/wsum);            
        }
}

Algorithm 2

Let's introduce the box blur. It is the convolution of function ff and weight ww, but weight is constant and lies within a square (box). The nice feature of box blur is, that when you have some weight function having the same variance, it converges to gaussian blur after several passes.

In this algorithm, we will simulate the gaussian blur with 3 passes of box blur. Let's denote the half of size of square as brbr ("box radius"). The constant value of weight is 1/(2⋅br)21/(2⋅br)2 (so the sum over the whole weight is 1). We can define box blur as:

bb[i,j]=∑y=i−bri+br∑x=j−brj+brf[y,x]/(2⋅br)2bb[i,j]=∑y=i−bri+br∑x=j−brj+brf[y,x]/(2⋅br)2

We have to convert the standard deviation of gaussian blur 

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