圖的深度優先搜尋及拓撲排序
本文將介紹圖的深度優先搜尋，並實現基於深度優先搜尋的拓撲排序（拓撲排序適用於有向無環圖，下面詳細介紹）。
1. 圖的深度優先遍歷要解決的問題
圖的深度優先搜尋與樹的深度優先搜尋類似，但是對圖進行深度優先搜尋要解決一個問題，那就是頂點的重複訪問，假設圖中存在一個環路A-B-C-A，那麼對頂點A進行展開後得到B，對B進行展開後得到C，然後對C進行展開後得到A，然後A就被重複訪問了。。。
這顯然是不對的！我們需要用一個狀態變數來記錄一個頂點被訪問和被展開的狀態。在《演算法導論》中，作者使用3種顏色來對此進行標記：WHITE——頂點還沒被訪問過，GRAY——頂點已經被訪問過但是其子結點還沒被訪問完，BLACK——頂點已經被訪問過而且其子結點已經被訪問完了。
2. 用棧實現圖的深度優先遍歷
在《演算法導論》中，作者使用了遞迴來實現深度優先遍歷。雖然遞迴寫起來更加簡潔而且容易理解，但是我並不建議在實際工程中這樣做，除非你的問題規模比較小。否則遞迴會讓你的程式萬劫不復。正如使用佇列實現廣度優先搜尋一樣（可以看到我的上一篇部落格圖的廣度優先遍歷），下面我將會使用棧來實現深度優先搜尋。
下面用一個例子來說明如何使用棧來實現深度優先遍歷。假設有下面一個圖。
首先，我們初始化一個空棧，然後將所有頂點入棧，此時所有頂點都沒有被訪問過，因此所有頂點都置為白色，如下所示。
上述初始化完成以後，頂點5位於棧底，頂點1位於棧頂，然後我們就進入迴圈操作，首先出棧一個頂點，該頂點為頂點1，因為頂點1是白色的，即沒有被訪問過，於是就將頂點1置為灰色，並重新入棧（因為下面要記錄結點的子結點被訪問完的次序），然後展開頂點1的所有頂點，只有頂點2，由於頂點2是白色即未被訪問過，於是將頂點2入棧，如下圖所示。
然後我們繼續迴圈，出棧一個頂點，即頂點2，因為頂點2是白色的，於是將其置為灰色，並重新入棧，然後展開得到頂點4和頂點5，由於頂點4和頂點5均為白色，於是將它們都入棧。如下圖所示。
然後還是繼續迴圈，出棧一個頂點，即頂點5，由於頂點5是白色的，於是將其置為灰色，並重新入棧，然後展開頂點5，發現頂點5沒有子結點，如下圖所示。
然後繼續迴圈，出棧頂點5，此時頂點5為灰色，說明頂點5的子結點已經被訪問完了，於是將頂點5置為黑色，並將其次序標記為1，說明他是第一個被展開完的結點，這一個記錄將會被應用到拓撲排序中。此時棧的狀態如下所示。
繼續迴圈，出棧頂點4，因為是白色的，所以將頂點4置為灰色並重新入棧，然後展開頂點4得到頂點5，因為頂點5是黑色的，於是不將其入棧。接下來繼續出棧頂點4，發現頂點4是灰色的，於是和前面一樣，將頂點4置為黑色並將其次序記錄為2。此時的棧如下圖所示。
好了，後面的迴圈的工作也跟上述類似，依次將頂點2、1出棧並置為黑色，直到頂點3展開發現沒有白色的子結點，也將其置為黑色。然後再到了頂點4和頂點5，因為是黑色，直接出棧不作任何處理了。此時棧為空，遍歷結束。
我們的程式需要的輸入的圖以鄰接表的形式表示，下面給出圖及頂點和鄰接表的定義。
typedef enum VertexColor
{
Vertex_WHITE = 0, // 未被搜尋到
Vertex_BLACK = 1, // 子結點都被搜尋完畢
Vertex_GRAY = 2 // 子結點正在被搜尋
} VertexColor;
typedef struct GNode
{
int number; // 頂點編號
struct GNode *next;
} GNode;
typedef struct Vertex
{
int number;
int f;
VertexColor color; // 搜尋過程標記搜尋狀態
struct Vertex *p;
} Vertex;
typedef struct Graph
{
GNode *LinkTable;
Vertex *vertex;
int VertexNum;
} Graph;下面給出用棧實現的深度優先搜尋的程式。
/**
* 深度優先搜尋，要求輸入圖g的結點編號從1開始
*/
void searchByDepthFirst(Graph *g)
{
int VertexNum = g->VertexNum;
Stack *stack = initStack();
Vertex *vs = g->vertex;
GNode *linkTable = g->LinkTable;
int order = 0;
for (int i = 0; i < VertexNum; i++)
{
Vertex *v = vs + i;
v->color = Vertex_WHITE;
v->p = NULL;
push(&stack, v->number);
}
while (!isEmpty(stack))
{
int number = pop(&stack);
Vertex *u = vs + number - 1;
if (u->color == Vertex_WHITE)
{
// 開始搜尋該結點的子結點
u->color = Vertex_GRAY;
push(&stack, number);
}
else if (u->color == Vertex_GRAY)
{
// 該結點的子結點已經被搜尋完了
u->color = Vertex_BLACK;
u->f = order++;
continue;
}
else
{
continue;
}
GNode *links = linkTable + number - 1;
links = links->next;
while (links != NULL)
{
// 展開子結點併入棧
Vertex *v = vs + links->number - 1;
if (v->color == Vertex_WHITE)
{
v->p = u;
push(&stack, links->number);
}
links = links->next;
}
}
}棧的操作可以參考其它資料，這裡不做詳述，下面給出一個簡單實現。
typedef struct Stack {
int value;
struct Stack *pre;
} Stack;Stack* initStack()
{
Stack *s = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
s->pre = NULL;
return s;
}
void push(Stack **s, int value)
{
Stack *n = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
n->pre = *s;
n->value = value;
*s = n;
}
int pop(Stack **s)
{
if ((*s)->pre == NULL)
{
return INT_MAX;
}
int value = (*s)->value;
Stack *pre = (*s)->pre;
free(*s);
*s = pre;
return value;
}
int isEmpty(Stack *s)
{
if (s->pre == NULL)
{
return 1;
}
return 0;
}
void destroyStack(Stack **s)
{
while (*s != NULL)
{
Stack *pre = (*s)->pre;
free(*s);
*s = pre;
}
}下面給出一個應用上述深度優先遍歷方法的例子程式碼和執行結果。
Graph graph;
graph.VertexNum = 5;
Vertex v[5];
Vertex v1; v1.number = 1; v1.p = NULL; v[0] = v1;
Vertex v2; v2.number = 2; v2.p = NULL; v[1] = v2;
Vertex v3; v3.number = 3; v3.p = NULL; v[2] = v3;
Vertex v4; v4.number = 4; v4.p = NULL; v[3] = v4;
Vertex v5; v5.number = 5; v5.p = NULL; v[4] = v5;
graph.vertex = v;
GNode nodes[5];
GNode n1; n1.number = 1;
GNode n2; n2.number = 2;
GNode n3; n3.number = 3;
GNode n4; n4.number = 4;
GNode n5; n5.number = 5;
GNode y; y.number = 5;
GNode e; e.number = 2;
GNode f; f.number = 5;
GNode g; g.number = 2;
GNode h; h.number = 4;
n1.next = &e; e.next = NULL;
n2.next = &h; h.next = &f; f.next = NULL;
n3.next = &g; g.next = NULL;
n4.next = &y; y.next = NULL;
n5.next = NULL;
nodes[0] = n1;
nodes[1] = n2;
nodes[2] = n3;
nodes[3] = n4;
nodes[4] = n5;
graph.LinkTable = nodes;
searchByDepthFirst(&graph);
printf("\n");
printPath(&graph, 2);
上述示例程式碼對本文前面給出的圖進行深度優先遍歷後，輸出頂點2的前驅子樹，得到上述結果，意思是頂點2的前驅頂點為3。
3. 圖的拓撲排序
圖的拓撲排序可以應用深度優先遍歷來實現。
首先，說明一下什麼是拓撲排序。拓撲排序是指將圖按前後順序組織排列起來，前後順序是指在排序結果中，前面的頂點可能是有一條簡單路徑通向後面的頂點的，而後面的頂點是肯定沒有一條簡單路徑通向前面的頂點的。拓撲排序適用於有向無環圖。下面給出一個拓撲排序的例子。
還是這個圖，這也是一個有向無環圖，拓撲排序的結果最前面的頂點肯定是一個根頂點，即沒有其它頂點指向他。這個圖的拓撲排序結果是1、3、2、4、5，或者1、3、2、5、4，等等，不存在指向關係的頂點間的順序是不確定的。我們可以將拓撲排序的圖看成是一個日程表，頂點1代表洗臉，頂點3代表刷牙，頂點2代表吃早餐，頂點4代表穿褲子，頂點5代表穿衣服，於是拓撲排序本質就是根據事件應該發生的先後順序組織起來。
圖的深度優先遍歷有一個特點，那就是，當一個頂點的子結點都被訪問完了，該頂點才會結束訪問，並開始向上回溯訪問它的父結點的其它子結點。這意味著，一個頂點的結束訪問時間與其子結點的結束訪問時間存在先後關係，而這個順序剛好與拓撲排序是相反的！簡單地說，在深度優先遍歷中，頂點A要結束訪問的前提是其子結點B、C、D...都被訪問完了，而在拓撲排序中，事件A完成之後其後面的事件B、C、D...才可以繼續進行。這也就是上面的深度優先搜尋為什麼要記錄結點被訪問完成的次序，因為這個次序倒過來就是拓撲排序的順序！
下面給出基於圖的深度優先搜尋實現的拓撲排序的程式。
/**
* 有向無環圖的拓撲排序
*/
void topologySort(Graph *g, int **order, int *n)
{
searchByDepthFirst(g);
*n = g->VertexNum;
*order = (int *)malloc(sizeof(int) * *n);
for (int i = 0; i < *n; i++)
{
(*order)[*n - 1 - g->vertex[i].f] = i + 1;
}
}其實拓撲排序還有另一種實現方法，那就是從根頂點開始，刪除所有根頂點及與之相連的邊。此時就會產生新的根頂點，然後繼續重複上述操作，知道所有頂點都被刪除。
4. 總結
本文介紹瞭如何使用棧來實現圖的深度優先搜尋，並基於圖的深度優先搜尋實現了拓撲排序。其時間複雜度均為O(n)。完整程式可以參考我的github專案資料結構與演算法
這個專案裡面有本部落格介紹過的和沒有介紹的以及將要介紹的《演算法導論》中部分主要的資料結構和演算法的C實現，有興趣的可以fork或者star一下哦~ 由於本人還在研究《演算法導論》，所以這個專案還會持續更新哦~ 大家一起好好學習~