B Symmetric Matrix

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空間限制：C/C++ 524288K，其他語言1048576K
64bit IO Format: %lld

題目描述

Count the number of n x n matrices A satisfying the following condition modulo m.
* Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, j = Aj, i for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, 1 + Ai, 2 + ... + Ai, n = 2 for all 1 ≤ i ≤ n.
* A1, 1 = A2, 2 = ... = An, n = 0.

輸入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.

輸出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

示例1

輸入

複製

3 1000000000
100000 1000000000

輸出

複製

1
507109376

備註:

* 1 ≤ n ≤ 105
* 1 ≤ m ≤ 109
* The sum of n does not exceed 107.
 

題意：給出一個矩陣 矩陣每行的和必須為2 且是一個沿右對角線（右對角線上的值全為0）對稱的矩陣 問你大小為n的這樣的合法矩陣有多少個。

思路：因為是n*n的矩陣，所以可以認為是一個無向圖的鄰接矩陣，滿足每個點的度必須為2，且可以有重邊（1-2可以連兩次），求合法的圖有多少個?可以想到用dp來求解；

設dp[i]為點數為i時的答案，當新加入一個點時，當前點數為n（包括新加入的點），從舊的點（n-1個）中挑出x個，剩餘的舊點與新點組成一個環，要注意挑的x要大於等於2，且保證(n-1-x)>=2,因為當（n-1-x)>=2時，新點組時環答案會有重複，考慮對稱性需要除2，那麼(n-1-x)=1和x=0需要單獨算:

dp[n]=(n-1)*dp[n-2](x為n-2)+sigma(x:2->n-3)C(n-1,x)*(n-1-x)!*dp[x]/2+(n-1)!/2(x為0)

即dp[n]=(n-1)*dp[n-2]+sigma(x:2->n-3)*dp[x]*(n-1)!/(2*x!)+(n-1)!/2

那麼dp[n-1]=(n-2)*dp[n-3]+sigma(x:2->n-4)*dp[x]*(n-2)!/(2*x!)+(n-2)!/2

即:(n-1)*dp[n-1]=(n-1)*(n-2)*dp[n-3]+sigma(x:2->n-4)*dp[x]*(n-1)!/(2*x!)+(n-1)!/2

dp[n]-(n-1)*dp[n-1]=(n-1)*dp[n-2]-(n-1)*(n-2)*dp[n-3]+dp[n-3]*(n-1)!/(2*(n-3)!)

                                =(n-1)*dp[n-2]-(n-1)*(n-2)*dp[n-3]+(n-1)*(n-2)*dp[n-3]/2

                                =(n-1)*dp[n-2]-(n-1)*(n-2)*dp[n-3]/2

dp[n]=(n-1)*dp[n-2]-(n-1)*(n-2)*dp[n-3]/2+(n-1)*dp[n-1]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//FILE *fin, *out;
//fin = fopen("money.fin", "r");
//out = fopen("money.out", "w");
//ofstream fout("money.out");
//ifstream fin("money.in");
long long dp[100005];
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        dp[2]=dp[3]=1;
        for(long long i=4;i<=n;i++){
            dp[i]=(((i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]))%m-((i-1)*(i-2)/2*dp[i-3])%m+m)%m;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}