如果一個字串正著讀和反著讀是一樣的，那它就是迴文串。下面是一些迴文串的例項：

12321 a aba abba aaaa tattarrattat（牛津英語詞典中最長的迴文單詞）
1. Brute-force 解法
對於最長迴文子串問題，最簡單粗暴的辦法是：找到字串的所有子串，遍歷每一個子串以驗證它們是否為迴文串。一個子串由子串的起點和終點確定，因此對於一個長度為n的字串，共有n^2個子串。這些子串的平均長度大約是n/2，因此這個解法的時間複雜度是O(n^3)。

1. 改進的方法
   顯然所有的迴文串都是對稱的。長度為奇數迴文串以最中間字元的位置為對稱軸左右對稱，而長度為偶數的迴文串的對稱軸在中間兩個字元之間的空隙。可否利用這種對稱性來提高演算法效率呢？答案是肯定的。我們知道整個字串中的所有字元，以及字元間的空隙，都可能是某個迴文子串的對稱軸位置。可以遍歷這些位置，在每個位置上同時向左和向右擴充套件，直到左右兩邊的字元不同，或者達到邊界。對於一個長度為n的字串，這樣的位置一共有n+n-1=2n-1個，在每個位置上平均大約要進行n/4次字元比較，於是此演算法的時間複雜度是O(n^2)。

2. Manacher 演算法
   對於一個比較長的字串，O(n^2)的時間複雜度是難以接受的。Can we do better?

先來看看解法2存在的缺陷。

1) 由於迴文串長度的奇偶性造成了不同性質的對稱軸位置，解法2要對兩種情況分別處理；
2) 很多子串被重複多次訪問，造成較差的時間效率。

缺陷2）可以通過這個直觀的小圖體現：

char: a b a b a
i : 0 1 2 3 4
當i==1，和i==2時，左邊的子串aba分別被遍歷了一次。

如果我們能改善解法2的不足，就很有希望能提高演算法的效率。Manacher正是針對這些問題改進演算法。

(1) 解決長度奇偶性帶來的對稱軸位置問題
Manacher演算法首先對字串做一個預處理，在所有的空隙位置(包括首尾)插入同樣的符號，要求這個符號是不會在原串中出現的。這樣會使得所有的串都是奇數長度的。以插入#號為例：

aba ———> #a#b#a#
abba ———> #a#b#b#a#
插入的是同樣的符號，且符號不存在於原串，因此子串的迴文性不受影響，原來是迴文的串，插完之後還是迴文的，原來不是迴文的，依然不會是迴文。

(2) 解決重複訪問的問題
我們把一個迴文串中最左或最右位置的字元與其對稱軸的距離稱為迴文半徑。Manacher定義了一個迴文半徑陣列RL，用RL[i]表示以第i個字元為對稱軸的迴文串的迴文半徑。我們一般對字串從左往右處理，因此這裡定義RL[i]為第i個字元為對稱軸的迴文串的最右一個字元與字元i的距離。對於上面插入分隔符之後的兩個串，可以得到RL陣列：

char: # a # b # a #
RL : 1 2 1 4 1 2 1
RL-1: 0 1 0 3 0 1 0
i : 0 1 2 3 4 5 6

char: # a # b # b # a #
RL : 1 2 1 2 5 2 1 2 1
RL-1: 0 1 0 1 4 1 0 1 0
i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8
上面我們還求了一下RL[i]-1。通過觀察可以發現，RL[i]-1的值，正是在原本那個沒有插入過分隔符的串中，以位置i為對稱軸的最長迴文串的長度。那麼只要我們求出了RL陣列，就能得到最長迴文子串的長度。

於是問題變成了，怎樣高效地求的RL陣列。基本思路是利用迴文串的對稱性，擴充套件迴文串。

我們再引入一個輔助變數MaxRight，表示當前訪問到的所有迴文子串，所能觸及的最右一個字元的位置。另外還要記錄下MaxRight對應的迴文串的對稱軸所在的位置，記為pos，它們的位置關係如下。

我們從左往右地訪問字串來求RL，假設當前訪問到的位置為i，即要求RL[i]，在對應上圖，i必然是在po右邊的(obviously)。但我們更關注的是，i是在MaxRight的左邊還是右邊。我們分情況來討論。

1）當i在MaxRight的左邊

情況1)可以用下圖來刻畫：

我們知道，圖中兩個紅色塊之間（包括紅色塊）的串是迴文的；並且以i為對稱軸的迴文串，是與紅色塊間的迴文串有所重疊的。我們找到i關於pos的對稱位置j，這個j對應的RL[j]我們是已經算過的。根據迴文串的對稱性，以i為對稱軸的迴文串和以j為對稱軸的迴文串，有一部分是相同的。這裡又有兩種細分的情況。

以j為對稱軸的迴文串比較短，短到像下圖這樣。

這時我們知道RL[i]至少不會小於RL[j]，並且已經知道了部分的以i為中心的迴文串，於是可以令RL[i]=RL[j]。但是以i為對稱軸的迴文串可能實際上更長，因此我們試著以i為對稱軸，繼續往左右兩邊擴充套件，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。

以j為對稱軸的迴文串很長，這麼長：

這時，我們只能確定，兩條藍線之間的部分（即不超過MaxRight的部分）是迴文的，於是從這個長度開始，嘗試以i為中心向左右兩邊擴充套件，，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。

不論以上哪種情況，之後都要嘗試更新MaxRight和pos，因為有可能得到更大的MaxRight。

具體操作如下：

step 1: 令RL[i]=min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
step 2: 以i為中心擴充套件迴文串，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。
step 3: 更新MaxRight和pos
2）當i在MaxRight的右邊

遇到這種情況，說明以i為對稱軸的迴文串還沒有任何一個部分被訪問過，於是只能從i的左右兩邊開始嘗試擴充套件了，當左右兩邊字元不同，或者到達字串邊界時停止。然後更新MaxRight和pos。

(3) 演算法實現
python：
def manacher(s):
#預處理
s=’#’+’#’.join(s)+’#’

RL=[0]*len(s)
MaxRight=0
pos=0
MaxLen=0
for i in range(len(s)):
    if i<MaxRight:
        RL[i]=min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
    else:
        RL[i]=1
    #嘗試擴充套件，注意處理邊界
    while i-RL[i]>=0 and i+RL[i]<len(s) and s[i-RL[i]]==s[i+RL[i]]:
        RL[i]+=1
    #更新MaxRight,pos
    if RL[i]+i-1>MaxRight:
        MaxRight=RL[i]+i-1
        pos=i
    #更新最長迴文串的長度
    MaxLen=max(MaxLen, RL[i])
return MaxLen-1

(4) 複雜度分析
空間複雜度：插入分隔符形成新串，佔用了線性的空間大小；RL陣列也佔用線性大小的空間，因此空間複雜度是線性的。
時間複雜度：儘管程式碼裡面有兩層迴圈，通過amortized analysis我們可以得出，Manacher的時間複雜度是線性的。由於內層的迴圈只對尚未匹配的部分進行，因此對於每一個字元而言，只會進行一次，因此時間複雜度是O(n)。

1. 更多關於迴文串的 fun facts（參考自維基百科）
   4.1 人們在一座名為赫庫蘭尼姆的古城遺蹟中，找到了一個好玩的拉丁語迴文串：sator arepo tenet opera rotas。翻譯成中文大概就是`一個叫做Arepo的播種者，他用力地扶（把）著車輪。這個串的每個單詞首字母剛好組成了第一個單詞，每個單詞的第二個字母剛好組成了第二個單詞…於是乎，如果寫出醬紫，你會發現上下左右四個方向讀起來是一樣的。這個串被稱為 Sator Square.
   

4.2 本文開頭給出的單詞tattarrattat，出現在愛爾蘭作家詹姆斯·喬伊斯的小說《尤利西斯》，是敲門的意思。吉尼斯紀錄的最長迴文英文單詞是detartrated，是個化學術語。另外，還有些已出版的英文迴文小說（你們歪果仁真會玩），比如Satire: Veritas，Dr Awkward & Olson in Oslo等。

2015.11.9 更新。

可以採用動態規劃，列舉迴文串的起點或者終點來解最長迴文串問題，無需討論串長度的奇偶性。看下面的扎瓦程式碼，容易理解。

public int longestPalindrome(String s) {
 int n=s.length();
 boolean[][] pal=new boolean[n][n];
 //pal[i][j] 表示s[i...j]是否是迴文串
 int maxLen=0;
 for (int i=0;i<n;i++){  // i作為終點
     int j=i;    //j作為起點
     while (j>=0){
         if (s.charAt(j)==s.charAt(i)&&(i-j<2||pal[j+1][i-1])){
             pal[j][i]=true;
            maxLen=Math.max(maxLen, i-j+1);
         }
         j--;
     }
 }
 return maxLen;
}