給出兩個長度分別為n和m的字串A和B，確定A和B中最長公共子序列的長度。

樸素演算法：列舉A中所有的子序列2ⁿ個，並逐個判斷其是否在B中（Θ(m)耗費）。時間複雜度為Θ(m2ⁿ)。

利用動態規劃可以在Θ(nm)的時間和Θ(min{m,n})的空間內解決最長公共子序列問題。

 基本思路：

對於字串A=a₁a₂...a_n，B=b₁b₂...b_m，令L[i,j]表示a₁a₂...a_i和b₁b₂...b_j的最長公共子序列的長度。

初始條件：如果i=0或j=0，L[i,j]=0。

狀態轉移：

我們可以得出下面的結論：

虛擬碼：

C++程式碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1010][1010];
int main()
{
	string a, b;
	while (cin >> a >> b)
	{
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		int lena = a.length();
		int lenb = b.length();
		for (int i = 0; i < lena; i++)
		for (int j = 0; j < lenb; j++)
		{
			if (a[i] == b[j]) dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
			else dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]);
		}
		cout << dp[lena][lenb] << endl;
	}
}
 

C++程式碼（列印路徑）：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 10
int dp[N][N];
int path[N];
int main()
{
    char a[N];
    char b[N];
    freopen("lcsInput.txt","r",stdin);
    freopen("lcsOutput.txt","w",stdout);
    scanf("%s%s",a,b);
    int la=strlen(a);
    int lb=strlen(b);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=la;i++)
    {
        for(int j=1;j<=lb;j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    int i=la,j=lb,k=0;
    while(dp[i][j])
    {
        if(dp[i][j]==dp[i-1][j])
        i--;
        else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])
        j--;
        else
        {
            path[k++]=i-1;
            i--;j--;
        }
    }
    printf("%s\n%s\n",a,b);
    printf("最長公共子序列長度=%d\n",dp[la][lb]);
    for(int i=k-1;i>=0;i--)
    printf("%c",a[path[i]]);
    printf("\n");
    return 0;
}
 

演算法分析：

演算法的過程就是不斷填充一個n*m的表格，時間複雜度就是表格的大小Θ(nm)，空間也可以控制在Θ(min{n,m})內。