堆排序與歸併排序具有相同的時間複雜度O(nlgn),但是在講堆排序之前，先要搞清楚堆排序使用的“二叉堆”

二叉堆是一個數組，可以被看成近似的完全二叉樹
特點：
1.樹上每一節點對應一個元素，除最底層外，樹是完全充滿的，而且從左到右填充。
2.
a(大頂堆）：根節點的值是大於等於任何子節點的值
b(小頂堆）：根節點的值是小於等於任何子節點的值
3.每個節點的左子樹和右子樹均為一個二叉堆
通過以上特點，將一個數組的所有元素依次放入二叉堆中，設數的根節點為a[i]，給定一個節點下標為i，則可以得到節點的父節點，左孩子和右孩子的下標：
父節點：i/2
左孩子：2*i
右孩子：2*i+1
介紹完基本知識，書本上介紹了最大堆排序的步驟及時間複雜度：

MAX-HEAPIFY(對於單個二叉堆的排序演算法) 時間複雜度O(lgn)
BUILD-MAX-HEAP(建二叉堆演算法) 時間複雜度O(n)
HEAPSORT(對陣列排序) 時間複雜度O(nlgn)

一、MAX-HEAPIFY
這個步驟的目的是維護最大堆性質，輸入為陣列a和下標i，在呼叫MAX-HEAPIFY時，假定左子樹和右子樹均為最大堆，但a[i]可能小於孩子，所以通過讓a[i]逐級下降，使得下標i為根節點的子樹滿足最大堆性質。

程式碼展示：

int maxheapify(int *a,int i,int size)
{
    int l=2*i;           //左子樹
 

    int r=2*i+1;         //右子樹
    int largest;         
    if(i<=size/2)
{
if(l<=size&&a[l]>a[i])           //左孩子與根節點
    {
        largest=l;
    }
    else  
    {
        largest=i;
    }
if(r<=size&&a[r]>a[largest])     //右孩子與根節點
    {
        largest=r;
    }
    if(largest!=i)             
    {
        swap(a[i],a[largest]);
        maxheapify(a,largest,size
 
);
    }
}
}

分析時間代價：
1。調整a[i]和左孩子、右孩子關係θ(1)
2。以i的一個孩子為根節點的子樹執行MAX-HEAPIFY時間
遞迴式：T(n)=T(2n/3)+θ(1)
遞迴式的解為O(lgn)（主定理方法2）,所以樹高為n的結點，MAX-HEAPIFY時間複雜度為O(n)

二、建堆
根節點下標為a.length/2，葉節點下標為(n/2+1)、(n/2+2)…(n),所以對a.length/2到1做MAX-HEAPIFY操作
int buildheap(int *a,int size)
{
for(int i=(size/2);i>=1;i–)
{
maxheapify(a,i,size);
}
}
建堆的時間複雜度在88頁有詳細的介紹，這裡不詳細介紹了，主要的就是建堆的時間複雜度是O(n).

三、堆排序
對大頂堆，因為根節點的值是陣列中也是二叉堆中最大的，所以每次把根節點取走，然後剩下的排出最大根節點再取走，依次就可以完成陣列從大到小排序，反之從小到大排序是在小頂堆中每次取根節點所得。
程式碼：

int heapsort(int *a,int size)
{
    buildheap(a,size);
    for(int i=size;i>=1;i--)
    {
        swap(a[1],a[i]);
        size=size-1;
        maxheapify(a,1,size);
    }
}

因為是建堆的時間複雜度是O(n),要呼叫MAX-HEAPIFY（n-1）次，每次時間O(lgn)，所以堆排序的時間複雜度是O(nlgn)。