BF演算法和KMP演算法

    子串的定位操作通常被稱作串的模式匹配，所謂的模式匹配即從較長的字串S（主串）的pos位置處開始尋找字串P（模式串）首次出現的位置，模式匹配演算法經典的有BF演算法和KMP演算法。

1、BF演算法

    BF演算法的思想是從主串的第pos個字元起和模式的第一字元比較，若相等，則繼續比較後續字元；若主串與模式串不是完全匹配，則回溯至主串的第pos+1個字元起和模式的第一個字元比較，若相等，則繼續比較後續字元，否則繼續重複上述回溯機制，直至找到主串中第一次包含子串的的位置，其圖例如下：

    因此，BF演算法如下所示：

2、KMP演算法引文——BF演算法分析

    由上面的分析可知，BF演算法是基於主串指標回溯，重新與子串進行逐字元進行比較，主串為S什麼要進行回溯呢，原因在於模式P中存在相同的字元或者說由字元（串）存在重複（模式的部分匹配性質），設想如果模式P中字元各不相同，主串就S的指標就根本不需要回溯；然而，我們可以發現在主串S與模式發生失配時，主串指標進行回溯會影響效率，因為由於模式S本身字元的部分部分匹配性質，回溯之後，主串S與模式P有些部分比較是沒有必要的，這就是對BF演算法所要改進的地方。

3、KMP演算法原理

    KMP演算法就是針對BF演算法的缺點所提出的，其關鍵就是，主串S與模式P發生失配時，如果主串S指標不進行回溯，那麼下面應該與模式中那個位置的字元進行比較呢？一旦在模式中找到這樣的位置，說明我們不需要每次與模式P重新開始匹配，這就意味著KMP演算法會直接跨過較多的位數，起到加速的作用。

    從上面的分析我們可以隱約感覺到，當S[i]與P[j]發生失配時，與S[i]進行下一次比較的P[next(j)]（next(j)表示發生失配時，與S[i]進行的比較的模式P中的字元位置），是由模式P本身固有的性質決定的，即上文2所提的BF回溯的原因，模式P本身的部分匹配性質。這就意外著，只要模式P給定，模式P與任意給定的主串發生失配時，模式P每一位對應的跳轉位置是固定的，即可以事先確定。用數學語言來說就是，模式P通過自身的部分匹配性質映射了一個相同長度的跳轉位置陣列（專業叫字尾陣列，文中用next陣列表示），下面我們首先分析確定next陣列的數學原理。

S：S₀, S₁, S₂,…, S_i-j

P：           P₀, P₁,P₂, …………......, P_j-1, Pj,………,P_m

P：                   P₀, P₁, P₂, ......, P_k-1,Pk,……,P_j-k, P_j-k+1…, P_j-1,P_j, ………P_m

    假設S[i]與P[j]發生失配（以紅色表示），我們找到了跳轉的位置k，即next[j]=k（藍色表示），則可以得到下面幾個數學關係：

    失配時：P[0,1,2……,j-2,j-1] = S[i-j,i-j+1,…….,i-2,i-1]；（1）

    跳轉後：P[0,1,2……,k-2,k-1] = S[i-k,i-k+1,…….,i-2,i-1]；（2）

    結合（1）、（2）得：

S[i-k,i-k+1,…….,i-2,i-1]= P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1] = P[0,1,2……,k-2,k-1]；（3）

    由（3）式可知，P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1] = P[0,1,2……,k-2,k-1]，等號左右兩邊恰好是P[0,1,2……,j-2,j-1]的字首和字尾的相等部分（好好體會字首和字尾概念），且這個相等部分的長度等於k即next[j]。

    由上數學分析可知，KMP演算法每一次匹配都是基於前一次匹配的結果（前一次的結果豐富記錄了模式P的性質），那麼我們就要在前一次基礎上，分析模式P的重複特性，找出字首和字尾相同部分的長度求出next陣列，下面給出next陣列的遞推演算法。

4、next陣列與KMP演算法

    我們看到，求取next陣列是KMP演算法的核心，我們假設已知k=next[j]，即有：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1]= P[0,1,2……,k-2,k-1]

則S[i+1]與P[j+1]發生失配時：

    （1）P[j]=P[k]，則表明模式P中：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1,j]= P[0,1,2……,k-2,k-1,k]

顯然，我們容易得到：next[j+1] = k + 1=next[j]+ 1；

    （2）P[j]!=P[k]，則表明模式串P中：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1,j]!= P[0,1,2……,k-2,k-1,k]

此時將求next陣列的問題轉化一個模式匹配問題，由上式的形式可以看出，將模式串P既看做主串有看做模式串，則在當前的模式匹配中，已經有：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1]= P[0,1,2……,k-2,k-1]

則由（1）的思想，若next[k]=k′且P[j]=P[k′]，則：

P[j- k′,j- k′+1,……,j-2,j-1,j]= P[0,1,2……, k′-2, k′-1, k′]

    這就是說，next[j+1]= k′ + 1 = next[k] + 1。同理，若P[j]!=P[k′]，繼續按執行（2）的思想執行。

    按照上述遞推思想得到獲取next陣列的演算法如下：

    上面的演算法還任然有缺陷，若S[i]與P[j]發生失配時，若出現，P[j]=P[next(j)]時，還按照上述演算法進行，仍然不是最有效率的，此時可以跳過更多的步數，具體修改如下：

    則完整的KMP演算法如下：

5、時間和空間複雜度分析