陣列-樹狀陣列

如果程式需要維護一個數組的**字首和**，S[i] = a[0]+ a[1] + …… + a[i-1]. 那麼一旦陣列中的一個元素 a[k]發生改變，則S[k+1] …… S[N] 都會發生變化（N是陣列長度）。

最壞情況下，字首和的更新需要O（N）時間，當n很大而陣列資料又經常變化時，程式的執行效率就會變得很低。

對於該類問題，運用樹狀陣列是一個不錯的選擇（另一種方法是線段樹）

什麼是樹狀陣列

如圖所示,對於樹狀陣列C有:
C[1] = A[1]
C[2] = A[2] + C[1]
C[3] = A[3]
C[4] = C[2] + C[3] + A[4] (A[4]的值為 4）
C[6] = C[5] + A[6] （A[6]的值為 6）
C[8] = C[7] + C[6] + C[4] + A[8]
……
這裡有一個有趣的性質： 若節點的編號為x，那麼這個節點所管轄的區間寬度為2^k,其中，k 時x的二進位制表示中末尾的0的個數：
eg：C[6] -> 6: 0110 -> k = 1 -> 他管理了2個數 A[5] 和A[6]
C[4] -> 4: 0100 ->k =2 -> 他管理了4個數（哪四個呢？讀者自己看一下咯）
Which means：
性質1：C[n] = A[n] + …… + A[ n - 2^k + 1 ]

1. 修改元素的值：
假設，A[k]發生了變化，C中需要更新的陣列有哪些？能夠管的到A[k]的那些
首先，C[k]必然能夠管的到A[k]，C[k]的父親，以及爺爺。。。。

def updata(index, x):
    while i<n:
        c[i] = c[i]+x
        i = i+ lowbit(i)
def lowbit(i):    #求i的二進位制數末尾0的格式k，並返回2^k
 

    return i&(i^(i-1))

2. 求陣列A的前n項和（也就是在需要的情況下求字首和）
陣列A的前n項和是不是就是C[n]加上在它之前的同輩分的兄弟？ have a think？

def query（i）
    sum =0;
    while n>0:
        sum = sum+ C[i]
        i = i - lowbit(i);
    return sum

* Ok 貼一下完整的PYHON程式碼*

:# -*- coding:utf-8 -*-

'''
function: 定義一個簡單的樹狀陣列類
author：hh
date：2016-5-26
note:宣告類例項時，引數為一個list
    要更新第k個值時，update(k,value)
    要求前k個元素的和，query（k-1）
'''
 


class treeArray(object):
    # lobit(i) = 2^k (k是i在二進位制中末尾0的個數)
    def lowbit(self,i):
        #return i&(-i)
        return i&(i^(i-1));

    #更新值
    def update(self,index,value):
        self.list_a[index] =  self.list_a[index] + value;
        while index< len(self.list_a):
            self.list_c[index] = self.list_c[index]+value;
            #由於下標是從0開始，而計算lowbit時要從1開始計算,所以傳值index+1
            index = index+ self.lowbit(index+1) 

    #建構函式！
    def __init__(self,list_a):
        self.list_a = [0]*len(list_a); 
        self.list_c = [0]*len(list_a)
        self.length = len(list_a)
        #print self.length
        for i in range(self.length):
           self.update(i,list_a[i])

    #查詢index座標處的字首和
    def query(self,index):
        sum = 0 
        if index >= self.length:
            print('ERRO,查詢範圍太大')
            return 0;
        while index >= 0:   //大於等與0！！！
            sum = sum + self.list_c[index]
            index = index - self.lowbit(index+1)
        return sum 

    #輸出此時的list_a（數值陣列）
    def output(self):
        k = self.length;
        print("list_a: ")
        print(self.list_a)
        return True

說明一下：由於list的下標從0開始，因此程式碼中的邊界條件需要注意

下面用一個例項來說明樹狀樹的應用：
敵兵佈陣問題：
有N個軍事基地，基地編號從0 到N-1，每個基地有不同數量的士兵，士兵數量可能發生增減，如何儘快的求出從第k個基地到第m個基地的士兵總數？

# -*- coding: utf-8 -*- 

from bin.treeArray import treeArray
'''
繼承了上面給出的樹狀陣列類
添加了方法:
add()
decrease()
AreaQuery()
'''
class sinPoiUpdateAreSum(treeArray):
    def __init__(self,list_a):
        treeArray.__init__(self,list_a)

#增加index基地的士兵人數
    def add(self,index, value):
        self.update(index,value);

      #減少index基地的士兵人數
    def decrease(self, index, value):
        self.update(index,-value)

#求a_index 到 b_index基地的士兵人數！
#顯然就是兩個字首和的差值！！
    def AreaQuery(self,a_index,b_index):
        return self.query(b_index) - self.query(a_index-1)

下一篇將利用樹狀陣列求解逆序對！！！Python新手，歡迎指正！！！

————————————————————————————————————— 2016-5-26
與 TJU-26 e