最近做課設的時候遇到了低通濾波器的問題。翻閱了下書籍，得到了一些收穫，想來分享下。如有不對的地方，請大神斧正。

首先要清楚的概念是，影象（假設是灰度圖，便於描述，或者是單個channel的圖）在時域和頻域中的分別是什麼含義。在時域中，很顯然，對應的是每個畫素，每個畫素上的點的灰度值。 如果該影象用matlab顯示的話，（x,y）代表圖中的每個畫素，每個畫素對應Z的值就是該影象在這個畫素點的灰度。那麼在頻域中，也就是如果我對這個矩陣進行傅立葉變換，我們得到的該影象在頻域中的表達。 影象在頻域中，是該影象的顏色變化的劇烈程度。低頻部分表示那些顏色變化不是很劇烈的部分，而高頻部分則是那些顏色變化劇烈的部分。舉個例子，如果我們有一副海洋和沙灘的圖，沙灘上可能有些人以及其他的東西。 那麼，我們可以發現，影象中，低頻部分所關聯的就是顏色變化平滑的，或者說不太變化的，如大片的沙灘以及海洋。而高頻部分則關聯的是顏色變化劇烈的部分，如海洋和沙灘交接的部分，或者其他顏色變化劇烈的東西，一般高頻部分所關聯的是兩個顏色的相交接的部分，而這一般都發生在兩個不同物體的輪廓上，所以，如果我們只取特定高頻的部分，那我們就能得到物體的輪廓了（本文主要講解低通濾波器，所以涉及的基本都是低頻部分，高頻部分會在其他博文中闡述）。

好了，現在我們對於影象的傅立葉變化有了一個大概的認識。那麼我們來說說為什麼在影象處理時，要使用低通濾波器呢。出於某些目的，我們希望我們的影象不那麼清晰，即去除噪點或者不要有那麼多的細節（比如，美圖秀秀中磨皮。。。 我們不希望面板上的毛孔都出現在影象上，但現在的手機畫素都很高，所以如果不做處理，那麼臉上就會有很多細節都展現在圖片上，如痘印啊，粗大的毛孔等）。那麼這個時候，我們就需要使用低通濾波器了，即把那些高頻的細節都過濾掉，留下的就只有平滑的面板了。

接下來，在來看看低通濾波器的種類。低通濾波器的種類有很多，比較常接觸的大概是以下幾類：

（1）理想的低通濾波器

   以上是二維中，低通濾波器的公式。其實很好理解，一維中的低通濾波器就是一個視窗函式，在D0的時候，直接從1變成0. 那麼二維中的低通濾波器就是講一維中的低通濾波器繞著y軸旋轉一週，所得到的圓柱就是二維中低通濾波器的樣子。而繞的點一般是影象的中心（P,Q代表了影象的橫縱畫素點的個數）。而D0 代表了截止頻率。matlab中自己構造理想低通濾波器的話，程式碼應該如下所示：

lowPF = zeros(p,Q);

for i = 1:P
    for j =1:Q
        if((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2 <=D0^2)
            lowPF(i,j) = 1;
        end
            
    end
end

figure;
title('low_pass_filter_cf=D0');
imshow(lowPF,[]);

由於理想濾波器的傅立葉反變換的是二維的sinc函式，即將一維的sinc函式繞著y軸旋轉一週（就像水波浪漾開那樣），所以當用這種濾波器處理影象時，在邊緣變化劇烈的地方會產生ringing。

然而正如它的名字一樣，它是理想低通濾波器，在實際使用中，我們不會使用這種濾波器，原因有二：首先是在實際上來說，不可能產生瞬時的階躍，即在D0位置，我們不可能能馬上從1跳到0.二是因為理想濾波器所得到的圖片ringing現象很嚴重（後文會有詳細說明）

（2）Butterworth 低通濾波器

以上是Butterworth濾波器的公式，相比於理想濾波器，它的階躍部分更加圓滑，而冪係數n可以改變濾波器的形狀，n越大，則該濾波器越接近於理想濾波器。以下為該濾波器的側面圖，以及用影象顯示的圖。

上圖為n取1-4所得到的butterworth函式傅立葉反變換所得到的函式的側檢視，我們可以看到n越小，暈越少。

與理想濾波器相比，Butterworth函式的傅立葉反變換所產生的暈比理想濾波器更平滑，所以該濾波器形成的圖片的ringing更少，且容易實現。以下是該濾波器的matlab程式碼

lowPF = zeros(P,Q);
n=1;

for i = 1:P
    for j =1:Q
      
            lowPF(i,j) = 1/(1+((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)^0.5/D0)^(2*n);
  
            
    end
end

figure;

imshow(lowPF,[]);

（3）.高斯低通濾波器

以上為高斯低通濾波器的公式，我們可以看到因為高斯濾波器是e的冪函式，所以該濾波器的傅立葉反變換應該也是e的冪函式，所以不會有暈的現象，相比以上兩種濾波器，ringing現象幾乎沒有。以下為高斯濾波器的側檢視以及影象顯示的圖

高斯濾波器的matlab程式碼

lowPF3 = zeros(P,Q);

for i = 1:P
    for j =1:Q
        lowPF3(i,j) = exp(-((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)/(2*D0^2));
            
    end
end

（4）濾波器截止頻率對於影象的影響

就像我們前面所說的，高頻的部分是影象的細節，那麼如果截止頻率越大，則保留的細節越多，相反截止頻率越小，那麼就會有更多的細節被過濾了，所以影象會更模糊，且ringing現象會更明顯。

以下上圖分別為截止頻率為460、160、60、30得到的圖

可以發現當截止頻率變為160時，字母a周圍的暈變得十分明顯，當截止頻率變為30時，影象整個變得十分模糊。

(5)相同截止頻率下選擇不同濾波器的效果

以上我們可以看到相同的截止頻率下，理想濾波器的ringing效果十分明顯，Butterworth的有點朦朧，但是ringing效果比較弱，而高斯濾波器效果很不錯。