一、相關概念

1、點連通度：最小V的點數（一個圖的點的連通度是最小割點集合中的頂點數）

2、邊連通度：最小E的邊數（一個圖的邊的連通度是最小割邊集合中的頂點數）

3、割點：去掉割點這個圖不連通（點連通度為1時，V的唯一元素）

4、割邊（橋）：去掉割邊這個圖不連通（邊連通度為1時，E的唯一元素）

5、雙連通圖：

如果一個無向圖的點連通度大於1，則是點雙聯通；

如果一個無向圖的邊連通度大於1，則是邊雙聯通。

6、雙聯通分量：

在圖G中，G’是G的子圖，G’雙聯通，則G’是雙聯通分量。

（雙聯通分量一定是點雙聯通分量，但不一定是邊雙聯通分量）

7、雙連通性：將無向圖的任意頂點刪除後，剩下的圖依然連通，那麽這樣的圖是雙聯通的。

二、割點的求解方法

1、無向圖的深度優先生成樹：

將對無向圖進行深度優先遍歷的順序作為樹節點的編號，建立正向邊；

相反的，如果遍歷到已經存在的節點，建立相應的背向邊。

2、求解割點的過程：

（1）建立Num（v），按照深搜的順序給節點編號（先序遍歷編號）

（2）建立Low（v）的三原則：（後序遍歷）

Num（v）；

所有背向邊（v,w）中最低的Num（w）；

所有邊（v,w）中最低的Low（w）；

（3）割點的條件

如果是根節點：有一個以上的兒子；

如果不是根節點：Low（v）>= Num（v）。

（具體實現的細節：

（1）可以讓根節點就是割點然後建立深搜樹，再求割點；

（2）也可以記錄每個節點的兒子的數量然後分別判斷根節點與非根節點）。

3、實現：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 1200;
const int INF = 0x3ffffff;
int num[maxn],parent[maxn],low[maxn],vis[maxn],cnt;
vector <int> vc[maxn];
int MIN(int x,int y)
{
    return x<y?x:y;
}
 
void AssignNum(int v) //建立dfs深搜樹 
{
    int i,w;
    num[v]=cnt++;
    vis[v]=1;
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(vis[w]==0){
            parent[w]=v;
            AssignNum(w);
        }
    }
}
void AssignLow(int v) //建立low數組，打印割點 
{
    int i,w;
    low[v]=num[v];
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(num[w]>num[v]){
            AssignLow(w);
            if(low[w]>=num[v]){
                printf("The gedian is %d\n",v);
            }
            low[v]=MIN(low[v],low[w]);
        }
        else if(parent[v]!=w){
            low[v]=MIN(low[v],num[w]);
        }
    }
}
void FindArt(int v) //打印割點 = AssignNum+AssignLow; 
{
    int i,w;
    low[v]=num[v]=cnt++;
    vis[v]=1;
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(!vis[w]){
            parent[w]=v;
            FindArt(w);
            if(low[w]>=num[v]) printf("The articulation point is %d\n",v);
            low[v]=MIN(low[v],low[w]);
        }
        else if(parent[v]!=w) low[v]=MIN(low[v],num[w]);
    }
}
int main(void)
{
    int n,m,i,j,x,y;
    cin>>n>>m;
    cnt=1;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        vc[x].push_back(y);
        vc[y].push_back(x);
    }
    //AssignNum(3);
    //AssignLow(3);
    FindArt(4); //根節點是割點 
    return 0;
}

/*
7 8
1 2
2 3
3 4
4 1
4 7
4 5
7 5
3 6
*/

三、橋的求解方法

一條無向邊（u，v）是橋當且僅當（u，v）是深搜樹的樹枝邊且滿足Num（u）< Low（v）。

            if(num[v]<low[w]) printf("---The edge (%d,%d) is artedge\n",v,w);  //求割邊 

圖論：割點和橋