無向圖的割頂和橋，無向圖的雙連通分量入門詳解及模板 -----「轉載」
阿新 • • 發佈：2018-04-10
dbr break nts word 否則 mark push gravity 無向連通圖 
https://blog.csdn.net/stillxjy/article/details/70176689
割頂和橋：對於無向圖G，如果刪除某個節點u後，連通分量數目增加，則稱u為圖的割頂；如果刪除某條邊後，連通分量數目增加，則稱該邊為圖的橋。對於連通圖刪除割頂或橋後都會使得圖不再連通
以下我，我們利用dfs的性質來快速找出一個連通圖中的所有的割頂和橋
首先我們要引入”時間戳”這個概念：
時間戳：表示在進行dfs時，每個節點被訪問的先後順序。每個節點會被標記兩次，分別用pre[],和post[]表示。
例如下圖的時間戳表示：（節點左上角為pre[],右上角為post[],子節點的訪問順序按照編號從小到達訪問）
圖中的邊分類：
樹邊與反向邊：在進行dfs時某條邊u-v,若v還沒有被訪問，則u-v為樹邊，若v已經被訪問過則u-v為反向邊。
對於上圖的DFS樹，下圖中實線為樹邊，虛線為反向邊
在無向圖中除了樹邊就是反向邊，且不存在跨越兩棵子樹的邊
所以對於根節點而言，如果有兩個及以上節點則根節點為割頂，否則不是
對於其他節點：在無向連通圖G的DFS樹中，非根節點u是割頂當且僅當u存在一個子節點v，使得v及其所有後代都沒有反向邊連回u的祖先（不包括u）
以上判斷條件很好想，只要隨便畫畫草圖就可以了
了解以上知識後我們找出圖中所有的割頂和橋
設low[u]為u及其後代所能連回的最早的祖先的pre[]值，則當u存在一個子節點v使得low[v] >= pre[u]時u就為割頂
求圖中割頂和橋的代碼：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
int n,m;
vector<int> G[maxn];
int low[maxn],pre[maxn];
int dfs_clock; //時間戳
int iscut[maxn]; //標記是否為割頂
int dfs(int u,int fa)
{
int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;
int child = 0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v = G[u][i];
if(!pre[v]) //沒有訪問的v
{
child++; //孩子節點的數目
int lowv = dfs(v,u);
lowu = min(lowu,lowv); //用後代更新lowu
if(lowv >= pre[u]) iscut[u] = 1;
if(lowv > pre[u]) cout<<"橋："<<u<<"-"<<v<<endl;
}
else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) //用反向邊更新lowu
{
lowu = min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0; //對於根節點的處理
low[u] = lowu;
return lowu;
}
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(iscut,0,sizeof(iscut));
for(int i=0;i<=n;i++) G[i].clear();
int u,v;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(1,-1);
for(int i=1;i<=n;i++) if(iscut[i])
cout<<i<<endl;
}
return 0;
}
點_雙連通分量 BCC：
對於一個連通圖，如果任意兩點至少存在兩條“點不重復”的路徑，則說圖是點雙連通的（即任意兩條邊都在一個簡單環中），點雙連通的極大子圖稱為點_雙連通分量。
易知每條邊屬於一個連通分量，且連通分量之間最多有一個公共點，且一定是割頂
點_雙連通分量代碼模板：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
struct Edge //棧中邊的結構
{
int u,v;
Edge(int uu,int vv)
{
u = uu;
v = vv;
}
};
stack<Edge> s;
struct edge //鏈式前向星建圖的邊結構
{
int v,next;
}edges[maxn];
int n,m; //節點的數目，無向邊的數目
int e,head[maxn];
int pre[maxn]; //第一次訪問的時間戳
int dfs_clock; //時間戳
int iscut[maxn]; //標記節點是否為割頂
int bcc_cnt; //點_雙連通分量的數目
int bccno[maxn]; //節點屬於的點_雙連通分量的編號
vector<int> bcc[maxn]; //點_雙連通分量
void addedges(int u,int v) //加邊
{
edges[e].v = v;
edges[e].next = head[u];
head[u] = e++;
edges[e].v = u;
edges[e].next = head[v];
head[v] = e++;
}
int dfs(int u,int fa)
{
int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;
int child = 0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
{
int v = edges[i].v;
Edge e = (Edge){u,v};
if(!pre[v])
{
s.push(e);
child++;
int lowv = dfs(v,u);
lowu = min(lowu,lowv); //用後代更新lowu
if(lowv >= pre[u]) //找到了一個子樹滿足割頂的條件
{
iscut[u] = 1;
bcc_cnt++;
bcc[bcc_cnt].clear();
for(;;) //保存bcc信息
{
Edge x = s.top(); s.pop();
if(bccno[x.u] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.u); bccno[x.u] = bcc_cnt;}
if(bccno[x.v] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.v); bccno[x.v] = bcc_cnt;}
if(x.u == u && x.v == v) break;
}
}
}
else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) //用反向邊更新lowu
{
s.push(e);
lowu = min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0; //對於根節點若只有一個子樹則不是割頂
return lowu;
}
void init()
{
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(iscut,0,sizeof(iscut));
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(bccno,0,sizeof(bccno));
e = 0; dfs_clock = 0; bcc_cnt = 0;
}
int main()
{
int u,v;
freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
init();
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
addedges(u,v);
}
dfs(1,-1);
for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)
{
for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
cout<<bcc[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
代碼講解：在理解了上面找割頂的代碼後，以上求BCC的代碼就是用一個棧保存所有的訪問的邊，然後在找到一個割頂之後就將該割頂信息全部出棧後保存起來即可。（具體實現細節要自己手寫代碼驗證最好，詳見代碼）
邊_雙連通分量 EBC：
對於邊_雙連通分量的求解簡單多了，我們先找出所有的橋，並將其做上標記。然後在利用dfs遍歷連通分量即可，只需在遍歷時不能訪問橋即可。
邊_雙連通分量代碼模板
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
struct Edge
{
int no,v,next; //no：邊的編號
}edges[maxn];
int n,m,ebcnum; //節點數目，無向邊的數目，邊_雙連通分量的數目
int e,head[maxn];
int pre[maxn]; //第一次訪問的時間戳
int dfs_clock; //時間戳
int isbridge[maxn]; //標記邊是否為橋
vector<int> ebc[maxn]; //邊_雙連通分量
void addedges(int num,int u,int v) //加邊
{
edges[e].no = num;
edges[e].v = v;
edges[e].next = head[u];
head[u] = e++;
edges[e].no = num++;
edges[e].v = u;
edges[e].next = head[v];
head[v] = e++;
}
int dfs_findbridge(int u,int fa) //找出所有的橋
{
int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
{
int v = edges[i].v;
if(!pre[v])
{
int lowv = dfs_findbridge(v,u);
lowu = min(lowu,lowv);
if(lowv > pre[u])
{
isbridge[edges[i].no] = 1; //橋
}
}
else if(pre[v] < pre[u] && v != fa)
{
lowu = min(lowu,pre[v]);
}
}
return lowu;
}
void dfs_coutbridge(int u,int fa) //保存邊_雙連通分量的信息
{
ebc[ebcnum].push_back(u);
pre[u] = ++dfs_clock;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
{
int v = edges[i].v;
if(!isbridge[edges[i].no] && !pre[v]) dfs_coutbridge(v,u);
}
}
void init()
{
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(isbridge,0,sizeof(isbridge));
memset(head,-1,sizeof(head));
e = 0; ebcnum = 0;
}
int main()
{
int u,v;
freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
init();
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
addedges(i,u,v);
}
dfs_findbridge(1,-1);
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!pre[i])
{
ebc[ebcnum].clear();
dfs_coutbridge(i,-1);
ebcnum++;
}
}
for(int i=0;i<ebcnum;i++)
{
for(int j=0;j<ebc[i].size();j++)
cout<<ebc[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
以上都是本人看了白書（《算法競賽入門經典——訓練指南》）後對相關知識點的總結，若有不清楚的地方可以直接去看課本，或者留下評論，謝謝
無向圖的割頂和橋，無向圖的雙連通分量入門詳解及模板 -----「轉載」