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題意：

一棵含有n個葉子節點的二叉樹通過如下方式生成：

每次等概率的隨機選擇一個葉子節點，將這個節點加上左右兩個子節點

求：

1.葉子節點平均深度的期望

2.樹深度的期望

n≤100$n\le 100$

Solution:

第一問很好處理：設fx$f_x$表示有x個葉子節點的樹的葉子節點平均深度

我們考慮在一個有x-1個葉子節點的樹裡隨機選擇一個葉子節點展開，那麼樹的葉子節點深度總和會增加fx−1+2$f_{x-1}+2$

所以fx=fx−1∗(x−1)+fx−1+2x=fx−1+2x$f_x=\frac{f_{x-1}\ast (x-1)+f_{x-1}+2}{x}=f_{x-1}+\frac{2}{x}$

第二問就比較難受了：

首先我們知道一個式子：

說人話就是隨機變數x的期望為對於所有i，i≤x$i\le x$的概率之和

我們設f[i][j]$f[i][j]$表示有i個葉子，樹的深度≥j$\ge j$的概率

轉移時列舉左右子樹有多少個葉子：

f[i][j]=∑i−1k=11i−1(f[k][j−1]+f[i−k][j−1]−f[k][j−1]∗f[i−k][j−1])$f[i][j]=\sum _{k=1}^{i-1}\frac{1}{i-1}(f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]\ast f[i-k][j-1])$

（括號裡的式子含義：左右只要一邊深度≥j−1$\ge j-1$即可，所以式子展開其實是f[k][j−

最後答案即為∑n−1i=1f[n][i]$\sum _{i=1}^{n-1}f[n][i]$

程式碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int p,n;
double f[110],dp[110][110],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&p,&n);
    if (p==1)
    {
        f[1
 
]=0;
        for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+2.0/i;
        printf("%.6f",f[n]);
    }
    else
    {
        for (int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<i;j++)
            {
                for (int k=1;k<i;k++)
                    dp[i][j]+=dp[k][j-1]+dp[i-k][j-1]-dp[k][j-1]*dp[i-k][j-1];
                dp[i][j]/=(i-1);
            }
        for (int i=1;i<n;i++) ans+=dp[n][i];
        printf("%.6f",ans);
    }
}