【DSP】由“取樣率、取樣最小記錄時間的一點直觀認識”所感
最近看了“彬彬有禮”的一篇文章“數字訊號處理中：取樣率、取樣最小記錄時間的一點直觀認識”後，疑惑很多，因為“彬彬有禮”的解釋並沒有給我帶來“直觀”的感受，反而讓我“懵”了，於是決定根據自己所查到的資料，談談自己粗淺的認識，請大家指正。
一、先把“彬彬有禮”的文章複製過來：
題目： 數字訊號處理中：取樣率、取樣最小記錄時間的一點直觀認識
首先上一幅截圖，來自姚天任的《數字訊號處理（第二版）》，華科出版社，第92頁，寫的很不錯的一本書。
1、文中提到了頻率分頻率等於最小記錄長度的倒數，這個可以這樣直觀的來認識：假設你取樣的資料時長為tp，那麼按照上述理論，頻率解析度是F=1/tp，這是因為你取樣的資料只有
2、對於取樣率的問題，文中提到為了避免頻譜混疊，要求取樣率fs>2f0，這個可以這樣來理解，fs>f0的結果是每個週期中採兩個或以上的點，也就是說只有保證訊號每個週期採兩個點才能確定這個訊號。試想，若你的取樣率為fs，訊號頻率大於fs的話，那麼在訊號的一個週期中可能都不會採到一個點，你讓計算機怎麼去判斷它的週期呢？
3、關於最後一個公式(3.93)，其實就說明白了一個道理：若你想讓頻率解析度達到F，那你取樣的記錄時間就得至少為tp=1/F，這樣才能保證採完至少一個週期的頻率為F的訊號資訊，這是硬性要求，不能商量；然後就是取樣率的問題，你取樣率高了，tp時間內的取樣點自然就多了，這個很簡單吧，而且為了保證頻率不混疊，你就得保證對於訊號的最高頻率成份每個週期至少採兩個點，因此取樣率至少為fs=2f0，取樣率的最小值有了，取樣的記錄時間是硬性要求，下限也有了，那麼自然就得到了N的下限，即當取樣記錄時間最小時，而取樣頻率也最小時，這個時候取樣點是最少的N=tp*fs=2f0/F。
<原文end>
二、補充點小知識：
在介紹相關知識前，先補充幾個知識點，或者索性把他們記住以後直接用就好了。
1、時域對應頻域，離散對應週期，連續對應非週期，非週期對應連續，週期對應離散。所以有：
連續週期訊號的頻譜是非週期離散的；
連續非週期訊號的頻譜是非週期連續的；
離散非週期訊號的頻譜是週期連續的；
離散週期訊號的頻譜是週期離散的。
2、主瓣和旁瓣是什麼？
主瓣通常是指Sa(x)=sinx/x函式或與之有關函式影象中（例如頻譜）中從負到正的第一個完整的瓣，旁瓣是指後面比它低矮的瓣。
3、頻譜洩露是什麼？
擷取訊號中的一部分需要加窗函式，加窗函式相當於在時域相乘，在頻域卷積，頻譜中除了主瓣以外，還出現了不該有的旁瓣，這句是頻譜洩露。
說白了就是，頻譜中出現了不該有的頻率分量，比如50HZ的純正弦波，本來只有一種頻率分量，分析結果中卻出現了與50HZ相近的頻率分量。
再換一種方式解釋就是：分析結果與實際不一致。
避免頻譜洩露的方法：對於週期訊號進行整週期截斷。
減小頻譜洩露：頻譜洩露的原因在於傅立葉變換的輸入訊號不能準確的、完整的代表被分析的訊號，因此輸出就會產生誤差。減弱頻譜洩露的方法就是：加合適的窗函式或者延長時間窗。
從減小頻譜洩露的角度出發，合適的窗函式有哪些呢？
原則是：旁瓣儘可能小，主瓣的寬度儘可能窄。雖然在頻域壓低旁瓣的高度會伴隨著主瓣的寬度增加，但因為旁瓣的洩露是主要的，主瓣的洩露是次要的，所以我們儘量選的窗函式滿足主瓣衰減率大，主瓣寬度小，旁瓣高度小，最好沒有負的旁瓣，，另外窗的長度儘可能長。
1）漢寧窗：又叫升餘弦窗，相對於矩形窗來說，漢寧窗的旁瓣顯著減小，但是主瓣的寬度顯著增加，所以頻率解析度有下降。
2）海明窗：在減小旁瓣幅值方面比漢寧窗更好，主瓣的衰減率比漢寧窗快。缺點是旁瓣的衰減率不如漢寧窗。
三、怎麼理解“彬彬有禮”的那三句話呢？
1、“頻率解析度等於最小記錄長度的倒數，即tp=1/F”怎麼理解？
這裡所謂的訊號最小記錄長度tp就是時域取樣時間總長度，等於一個記錄長度中的取樣點數N*取樣週期T。
我個人覺得“彬彬有禮”在解釋這句話時說的“取樣的資料只有tp長，對於頻率小於F的訊號，它的週期將大於tp，也就是說取樣的資料根本就沒有采完頻率小於F的訊號的一個週期”有問題：為什麼頻率小於F的訊號週期會大於tp呢？
因為默認了tp=1/F這個結論， 就是說“彬彬有禮”在證明這句話的過程中又用到了這句話，這個是不對的吧，因為你要證明它那就不能把它當結論。
關於這句話，鄭君裡《訊號與系統 上》在P113給出了證明和圖，但是要從直觀上理解，我覺得不太好理解，大概意思：
因為離散傅立葉變換前和變換後得到的序列長度不變，時域有N個點，那在頻域的(0,fs)也有N個點(fs是取樣頻率)，所以頻率解析度就是fs/N=1/NTs=1/tp。
另外可以結合“時域抽樣定理中，最低抽樣率fs=2fm，最大抽樣間隔Ts=1/2fm=1/fs”理解。
2、“fs>=2fm”怎麼理解？
我不太理解“彬彬有禮”說的“fs>f0的結果是每個週期中採兩個或以上的點”這句話：1）fs不是大於2f0嗎？這裡怎麼變成了大於f0了？ 2）我不太懂為什麼fs>f0代表兩個週期取樣至少兩個點呢？或者是說f0最小為1，所以fs>f0的話就代表fs>1，就代表了最少要取兩個點了，如果這樣解釋通的話，那定理是大於等於兩倍最大值，而不是大於一倍最大值。
其實這個很好理解，因為在時域離散的話，在頻域肯定是週期的，所謂週期就是以fs的大小進行平移拓展，為了使平移後和平移前的波形不重疊，fs肯定要大於兩倍2fm。(原頻譜波形是對稱的)
3、“N>=2f0/F”怎麼理解？
這個問題“彬彬有禮”的直觀解釋我能理解。簡單說一下：
最低取樣頻率是2f0，作為分子它依然是最小值，另外F雖然代表的是頻率解析度，但是F的值越小，表示頻率解析度越大，1/F代表的是最小記錄長度，作為分子依然是最小，此時的F值最大，代表的頻率解析度最低，綜合起來看2f0/F就是下限。
由F=1/tp還需要知道的是：
連續訊號的訊號長度tp越長（時間解析度越低），頻率解析度越好，怎麼理解呢？不妨這樣想：
長度為T的一段訊號因為是連續的，比較難想象，我們不妨將它轉換為離散的，也就是說我們將它看成N個點的一段訊號。這段訊號的N越長，就意味著訊號對應到頻域上的點數越多，那fs/N自然是越小啦。
參考文獻：
1. Rex_wyx的博文：頻率解析度