[bzoj1002][FJOI2007]輪狀病毒【高精度】【矩陣樹定理】
阿新 • • 發佈:2019-02-10
【題目描述】
Description
輪狀病毒有很多變種,所有輪狀病毒的變種都是從一個輪狀基產生的。一個N輪狀基由圓環上N個不同的基原子
和圓心處一個核原子構成的,2個原子之間的邊表示這2個原子之間的資訊通道。如下圖所示
N輪狀病毒的產生規律是在一個N輪狀基中刪去若干條邊,使得各原子之間有唯一的資訊通道,例如共有16個不
同的3輪狀病毒,如下圖所示
Input
第一行有1個正整數n
Output
計算出的不同的n輪狀病毒數輸出
Sample Input
3Sample Output
16HINT
Source
【題解】
據說可以矩陣樹定理暴力水過 qwq。
考慮基爾霍夫矩陣的樣子:(n=5為例)
5 -1 -1 -1 -1 -1
-1 3 -1 0 0 -1
-1 -1 3 -1 0 0
-1 0 -1 3 -1 0
-1 0 0 -1 3 -1
-1 -1 0 0 -1 3
我們考慮去掉第一行第一列的餘子式D。
設G為D去掉左下角和右上角的-1的矩陣。
顯然有G(n)=3*G(n-1)-G(n-2)
ans(n)=3*G(n-1)-2*G(n-2)-2
推導:3*G(n-1)為取最後一行一列的元素,2*G(n-2)為取左下右上或最後一行一列旁邊的兩個元素。
-2為取一個左下(右上) 一個最後一行一列 旁邊的元素。剩下的矩陣為下三角矩陣,對角線上全為-1
畫個圖會非常清晰。
/* -------------- user Vanisher problem bzoj-1002 ----------------*/ # include <bits/stdc++.h> # define ll long long # define N 110 using namespace std; int read(){ int tmp=0, fh=1; char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') fh=-1; ch=getchar();} while (ch>='0'&&ch<='9'){tmp=tmp*10+ch-'0'; ch=getchar();} return tmp*fh; } struct number{ int num[N]; }g[2],ans; int n,f1=0,f2=1; number operator *(int x, number a){ int i; for (i=1; i<=a.num[0]; i++) a.num[i]=a.num[i]*x; for (i=1; i<=a.num[0]||a.num[i]!=0; i++) a.num[i+1]+=a.num[i]/10, a.num[i]%=10; a.num[0]=i-1; return a; } number operator -(number a, number b){ int i,j=1; for (i=1; i<=b.num[0]; i++) a.num[i]-=b.num[i]; for (i=1; i<=a.num[0]; i++){ if (a.num[i]<0) a.num[i+1]--, a.num[i]+=10; if (a.num[i]>0) j=i; } a.num[0]=j; return a; } number operator -(number a, int b){ int i,j=1; a.num[1]-=b; for (i=1; i<=a.num[0]; i++){ if (a.num[i]<0) a.num[i+1]-=1, a.num[i]+=10; if (a.num[i]>0) j=i; } a.num[0]=j; return a; } int main(){ n=read(); if (n<3){ if (n==1) printf("1\n"); if (n==2) printf("5\n"); return 0; } g[f1].num[0]=1; g[f1].num[1]=3; g[f2].num[0]=1; g[f2].num[1]=8; for (int i=3; i<n; i++){ g[f1]=3*g[f2]-g[f1]; swap(f1,f2); } ans=3*g[f2]-2*g[f1]-2; for (int i=ans.num[0]; i>=1; i--) printf("%d",ans.num[i]); printf("\n"); return 0; }