多項式求逆，多項式取模，多項式開方學習筆記

前言

還記得上個學期tututu跟我提過多項式的很多操作，還有一些優化常數的奇技淫巧，然而那個時候我一臉懵逼。最近幾天無所事事，去洛谷做比賽又整天被吊著打，閒暇之餘就想著學一下多項式的幾個基本操作。

其實一開始我是想學CZT的，根據myy的論文它能把BZOJ3992那題優化到 $O (m \log (m) + m \log (n))$ 。然而它的應用面不廣我就很功利地沒有學。還有如何用兩次DFT求實序列的卷積等等。至於多項式牛頓迭代法，生成函式之類的，等我補完高數再回來學吧。~~說不定以後會填這些坑~~

多項式求逆，取模及開方應該算是多項式最為常見的應用，主要配合生成函式，常係數線性齊次遞推優化一起用。雖然已經有很多dalao們寫過詳細的筆記，不過這些演算法的題目比較少，我怕太久沒寫就忘了，所以還是自己寫(shui)一篇QAQ。

多項式求逆：

定義：

給出多項式 $A (x)$ ，現要求一個多項式 $B (x)$ ，使得：

A (x) B (x) \equiv 1 (\mod x^{n})

為什麼要模 $x^{n}$ ？如果不在模 $x^{n}$ 意義下定義逆元，除非 $A (x)$ 只有常數項，否則根據二項式定理， $B (x)$ 有無窮多項。

模 $x^{n}$ ，換句話說就是把多項式 $A (x) B (x)$ 的n次方及更高次項截斷。

暴力：

考慮如何暴力求逆。

令 $C (x) = A (x) * B (x)$ 。由於 $A_{0} B_{0} = C_{0} = 1$ ，可得 $B_{0}$ 為 $A_{0}$ 的逆元。又因為 $A_{0} B_{1} + A_{1} B_{0} = C_{1} = 0$

A1B0=C1=0，可以解得

B_{1} = \frac{- A_{1} B_{0}}{A_{0}}

。依此類推，即可解出

B_{0}

至

B_{n - 1}

。解到

B_{n - 1}

即可停止，因為求逆在模

x^{n}

意義下進行。

同時我們可以看出，多項式 $A (x)$ 是否存在逆元 $B (x)$ ，只取決於 $A_{0}$ 是否有逆元，因為每次求 $B_{i}$ 的時候，分母的位置總是 $A_{0}$ 。在下面 $O (n \log (n))$ 的演算法中，同樣可以證明這一點。

倍增：

為了方便，下面假設 $n = 2^{k} (k > 0)$ 。如果實際操作中n不是2的冪，像FFT那樣將n強行增大到2的冪即可。如果n=1，直接求 $A_{0}$ 的逆元即可。

假設已經求出多項式 $G (x)$

(x)，使得：

A (x) G (x) \equiv 1 (\mod x^{\frac{n}{2}})

因為 $A (x) B (x) \equiv 1 (\mod x^{n})$ ，所以 $A (x) B (x) \equiv 1 (\mod x^{\frac{n}{2}})$

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前言

多項式求逆：

定義：

暴力：

倍增：

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多項式求逆：

定義：

暴力：

倍增：

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