城市規劃

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題目描述

剛剛解決完電力網絡的問題, 阿貍又被領導的任務給難住了.
剛才說過, 阿貍的國家有n個城市, 現在國家需要在某些城市對之間建立一些貿易路線, 使得整個國家的任意兩個城市都直接或間接的連通. 為了省錢, 每兩個城市之間最多只能有一條直接的貿易路徑. 對於兩個建立路線的方案, 如果存在一個城市對, 在兩個方案中是否建立路線不一樣, 那麽這兩個方案就是不同的, 否則就是相同的. 現在你需要求出一共有多少不同的方案.
好了, 這就是困擾阿貍的問題. 換句話說, 你需要求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目.

由於這個數字可能非常大, 你只需要輸出方案數mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.

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輸入格式

僅一行一個整數n(<=130000)

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輸出格式

僅一行一個整數, 為方案數 mod 1004535809.

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樣例輸入

 3

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樣例輸出

 4

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提示

對於 100%的數據, n <= 130000

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題目來源

沒有寫明來源

傳說中FFT應用的最高境界？現在恐怕配不上這個稱號了。

http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456

解法一：

先按照慣例減弱條件限制，不要求圖連通，再將連通和不聯通之間的遞推關系式化成卷積的形式。最後直接上生成函數，在模$x^{n+1}$下求多項式的逆元即可。

次數界放寬！遞歸求逆元的時候次數界要放成兩倍！

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int N=300100
 
,mod=1004535809,g=3;
 7 int n,m,a[N],b[N],lg[N<<1],fac[N],fin[N],tmp[N],c[N],b1[N],rev[N];
 8 
 9 int ksm(int a,int b){
10     int res;
11     for (res=1; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=1)
12         if (b&1) res=1ll*res*a%mod;
13     return res;
14 }
15 
16 void DFT(int a[],int n,int f){
17     for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
18     for (int i=1; i<n; i<<=1){
19         int wn=ksm(g,(f==1) ? (mod-1)/(i<<1) : (mod-1)-(mod-1)/(i<<1));
20         for (int p=i<<1,j=0; j<n; j+=p){
21             int w=1;
22             for (int k=0; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
23                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
24             }
25         }
26     }
27     if (f==1) return;
28     int inv=ksm(n,mod-2);
29     for (int i=0; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
30 }
31 
32 void get(int a[],int b[],int l){
33     if (l==1){ b[0]=ksm(a[0],mod-2); return ;}
34     get(a,b,l>>1); int n=l<<1;
35     for (int i=0; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=0;
36     
37     for (int i=0; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg[n]-1));
38     DFT(tmp,n,1); DFT(b,n,1);
39     for (int i=0; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(2-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
40     DFT(tmp,n,-1);
41     
42     for (int i=0; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=0;
43 }
44 
45 int main(){
46     freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
47     freopen("bzoj3456.out","w",stdout);
48     scanf("%d",&n); fac[0]=fin[0]=1; lg[1]=0;
49     rep(i,2,n<<2) lg[i]=lg[i>>1]+1;
50     rep(i,1,n) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
51     fin[n]=ksm(fac[n],mod-2);
52     for (int i=n-1; i; i--) fin[i]=1ll*fin[i+1]*(i+1)%mod;
53     rep(i,0,n) b[i]=1ll*ksm(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*fin[i]%mod;
54     rep(i,1,n) c[i]=1ll*ksm(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*fin[i-1]%mod;
55     for (m=1; m<=n; m<<=1); get(b,b1,m);
56     DFT(c,m<<1,1); DFT(b1,m<<1,1);
57     for (int i=0; i<(m<<1); i++) c[i]=1ll*c[i]*b1[i]%mod;
58     DFT(c,m<<1,-1); printf("%lld\n",1ll*c[n]*fac[n-1]%mod);
59     return 0;
60 }

[BZOJ3456]城市規劃(生成函數+多項式求逆+多項式求ln)