問題

求最大連續子序列的問題描述如下：

給定一個實數序列 x₁, x₂, ... , x_n（不必是正數），尋找一個（連續的）子序列 x_i, x_i+1, ... , x_j，使得其數值之和在所有連續子序列數值之和中是最大的。

這個問題就是最大子序列問題，所求的的這個序列就叫做——最大子序列。下面通過數學歸納法來分析和解決這個問題，解決這個問題的最好目標是： 一個演算法，能夠只掃描此序列一次就得到最大子序列。

歸納分析

根據上面的問題可以直接得到一般的歸納假設：

歸納假設： 已知如何找到規模小於 n 的序列的最大子序列。

下面假定一些變數：

• 給定序列 S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n
  ).
• 序列 S(n) 的子序列為 S^'(n) .
• 序列 S(n) 的最大子序列為 S^'_M(n)=(x_i, x_i+1, ... , x_j).
• 序列 S(n) 的最大字尾子序列為 S^'_E(n)=(x_k, x_k+1, ... , x_n).

現在開始用數學歸納法來證明：

1. 當 n ＝ 1 時， S(1)=x₁，如果 x₁<0，則 *S^'_M(1)＝NULL；否則 *S^'_M(1)＝x₁ .
2. 當 n = n-1 時，S(n-1)=(x₁, x₂, ... , x_n-1)，假設 S^'_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j).

3. 當 n = n 時，S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n)=( S(n-1)

   , x_n)，然後由 S^'_M(n-1) 推匯出 S^'_M(n)，共有下面3種情況：
   1. S^'_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) ＝ NULL，如果 x_n<0，則 *S^'_M(n)＝NULL；否則 *S^'_M(n)＝x_n .
   2. S^'_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) && j = n-1，此時 S^'_M(n-1) ＝ S^'_E(n-1)，如果 x_n > 0，S^'_M(n)＝ S^'_M(n-1) + x_n ＝ (x_i, x_i+1, ... , x_j) + x_n，否則 S^'_M(n)＝ S^'_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) .
   3. S^'_M(n-1)
      =(x_i, x_i+1, ... , x_j) && j < n-1，此時 S^'_M(n-1) > S^'_E(n-1)，則可得到 S^'_M(n)＝S^'_M(n-1) 或者 S^'_M(n)＝S^'_E(n-1) + x_n .

4. 即上述可得證：能夠求出 S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n) 的最大連續子序列，不過上述的證明過程中用了增強歸納假設，這個也是這個證明的關鍵：

   更強的歸納假設： 已知如何找到規模小於 n 的序列的最大子序列，以及作為字尾的最大子序列。

我們知道了 S^'_M(n) 和 S^'_E(n) 這兩個序列，演算法也就明確了。我們把 x_n 加入到最大字尾子序列中，如果它的和大於原來的最大子序列，則得到一個新的最大子序列（同樣也是一個字尾），否則，保留以前的最大子序列。但求解過程還沒有結束，我們還需要尋找新的最大字尾子序列，因為不能只是簡單的把 x_n 加到以前的最大字尾中，有可能以 x_n 結束的最大字尾的和是負數，在這種情況下，我們就需要把NULL（空集）作為最大字尾（以及把隨後的 x_n+1 也考慮進去）。

具體演算法實現

根據上面的分析過程，下面貼上具體的C++程式碼：

int Maximum_Consecutive_Subsequence(int *x, int n)                                 
{                                                                                  
    int global_Max = 0;   // 最大子序列的和                                        
    int suffix_Max = 0;   // 最大字尾子序列的和，每次迭代都會更新                  
    int i = 0;                                                                     
    for (i = 0; i < n; i++)                                                        
    {                                                                              
        if (x[i] + suffix_Max > global_Max)                                                                  
        {                                                                          
            suffix_Max = suffix_Max + x[i];                                        
            global_Max = suffix_Max;                                               
        }                                                                          
        else if (x[i] + suffix_Max > 0)                                            
        {                                                                          
            suffix_Max = suffix_Max + x[i];                                        
        }                                                                          
        else                                                                       
        {                                                                          
            suffix_Max = 0;                                                        
        }                                                                          
    }                                                                              
    return global_Max;                                                             
}

更詳細的程式碼可以戳這裡. 

2014.09.07