Description

給定一棵點數為偶數的樹，要求有多少種將點兩兩配對的方案使得每一條邊至少被一對匹配點之間的最短路徑覆蓋。

Solution

根本想不到的DP系列。

首先考慮一個容斥，設F(E)$F(E)$表示至少將邊集E$E$中的邊全部拆掉所形成的聯通塊配對的方案數，那麼答案等於∑EF(E)×(−1)|E|$\sum _{E}F(E)\times (-1{)}^{|E|}$。

設fu,d$f_{u,d}$表示子樹u$u$中有d$d$個點還未被匹配的方案數。
轉移比較顯然，但是要處理一下d=0$d=0$的情況，因為這時u$u$到父親的邊是沒有被覆蓋的。我們將fu,d$f_{u,d}$加上∑fu,k×g(k)×(−1)$\sum f_{u,k}\times g(k)\times (-1)$，（g(k

關於時間複雜度，雖然對於每個點都有一個sz*sz的迴圈，但是每個點對都只會在lca處計算一次貢獻，所以時間複雜度是O(n2)$O(n^2)$的。

Code

/**************************************
 * Au: Hany01
 * Prob: ARC101 E
 * Date: Sep 2nd, 2018
 * Email: [email protected]
**************************************/

#include<bits/stdc++.h>
 


using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = j; i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j ,k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
 

#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define SZ(a) ((int)(a.size()))
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define x first
#define y second
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define y1 wozenmezhemecaia 
#ifdef hany01
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define debug(...)
#endif

template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    register char c_; register int _, __;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); !isdigit(c_); c_ = getchar()) if (c_ == '-')  __ = -1;
    for ( ; isdigit(c_); c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 5e3 + 5, MOD = 1e9 + 7;

int n, uu, vv, beg[maxn], v[maxn << 1], nex[maxn << 1], e = 1, f[maxn][maxn], dp[maxn], sz[maxn], g[maxn];

inline void add(int uu, int vv) { v[++ e] = vv, nex[e] = beg[uu], beg[uu] = e; }
inline int ad(int x, int y) { return (x += y) >= MOD ? x - MOD : x; }

void DFS(int u, int pa) {
    f[u][sz[u] = 1] = 1;
    for (register int i = beg[u]; i; i = nex[i]) if (v[i] != pa) {
        DFS(v[i], u);
        For(j, 1, sz[u] + sz[v[i]]) dp[j] = 0;
        For(j, 1, sz[u]) For(k, 0, sz[v[i]])
            dp[j + k] = ad(dp[j + k], (LL)f[u][j] * f[v[i]][k] % MOD);
        For(j, 1, sz[u] += sz[v[i]]) f[u][j] = dp[j];
    }
    for (register int i = 2; i <= sz[u]; i += 2)
        f[u][0] = ad(f[u][0], MOD - (LL)f[u][i] * g[i] % MOD);
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("arc101e");
#endif

    For(i, 2, n = read()) uu = read(), vv = read(), add(uu, vv), add(vv, uu);
    g[0] = 1;
    for (register int i = 2; i <= n; i += 2) g[i] = (LL)g[i - 2] * (i - 1) % MOD;
    DFS(1, 0), printf("%d\n", MOD - f[1][0]);

    return 0;
}