經典演算法研究系列：二之續、徹底理解Dijkstra演算法 

本文由單源最短路徑路徑問題開始，而後描述Bellman-Ford演算法，到具體闡述Dijkstra演算法，
闡述詳細剖析Dijkstra演算法的每一個步驟，教你徹底理解此Dijkstra演算法。 

一、單源最短路徑問題
我們知道，單源最短路徑問題：已知圖G=(V，E)，要求找出從某個定源頂點s<-V，到每個v<-V的最短路徑。
簡單來說，就是一個圖G中，找到一個定點s，然後以s為起點，要求找出s到圖G中其餘各個點的最短距離或路徑。

此單源最短路徑問題有以下幾個變形：
I、  單終點最短路徑問題：  
每個頂點v到指定終點t的最短路徑問題。即單源最短路徑問題的相對問題。
II、 單對頂點最短路徑問題：
給定頂點u和v，找出從u到v的一條最短路徑。

III、每對頂點間最短路徑問題：
針對任意每倆個頂點u和v，找出從u到v的最短路徑。
最簡單的想法是，將每個頂點作為源點，執行一次單源演算法即可以解決這個問題。
當然，還有更好的辦法，日後在本BOlG內闡述。 

二、Bellman-Ford 演算法
1、迴路問題
一條最短路徑不能包含負權迴路，也不能包含正權迴路。
一些最短路徑的演算法，如Dijkstra 演算法，要求圖中所有的邊的權值都是非負的，如在公路地圖上，找一條從定點s到目的頂點v的最短路徑問題。

2、Bellman-Ford 演算法
而Bellman-Ford 演算法，則允許輸入圖中存在負權邊，只要不存在從源點可達的負權迴路，即可。
簡單的說，圖中可以存在負權邊，但此條負權邊，構不成負權迴路，不影響迴路的形成。
且，Bellman-Ford 演算法本身，便是可判斷圖中是否存在從源點可達的負權迴路，
若存在負權迴路，演算法返回FALSE,若不存在，返回TRUE。

Bellman-Ford 演算法的具體描述
BELLMAN-FORD(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)   //對每個頂點初始化 ，O(V) 
2  for i ← 1 to |V[G]| - 1
3       do for each edge (u, v) ∈ E[G]
4              do RELAX(u, v, w)    //針對每個頂點(V-1個)，都運用鬆弛技術O(E)，計為O（(v-1)*E)）
5  for each edge (u, v) ∈ E[G]
6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)
7             then return FALSE     //檢測圖中每條邊，判斷是否包含負權迴路，

Bellman-Ford 演算法的時間複雜度，由上可得為O（V*E）。

3、關於判斷圖中是否包含負權迴路的問題：
根據定理，我們假定，u是v的父輩，或父母，那麼
當G(V,E)是一個有向圖或無向圖(且不包含任何負權迴路)，s<-V，s為G的任意一個頂點，則對任意邊(u，v)<-V，有
          d[s，v] <= d[s，u]+1
此定理的詳細證明，可參考演算法導論一書上，第22章中引理22.1的證明。
或者根據第24章中通過三角不等式論證Bellman-Ford演算法的正確性，也可得出上述定理的變形。

即假設圖G中不包含負權迴路，可證得
   d[v]=$(s，v)
      <=$(s，u)+w(u，v)  //根據三角不等式
      =d[u]+w[u，v]
所以，在不包含負權迴路的圖中，是可以得出d[v]<=d[u]+w(u，v)。

於是，就不難理解，在上述Bellman-Ford 演算法中，
 if d[v] > d[u]+w(u，v)，=> 包含負權迴路，返回FASLE
 else if =>不包含負權迴路，返回TRUE。

ok，咱們，接下來，立馬切入Dijkstra 演算法。

三、深入淺出，徹底解剖Dijkstra 演算法
I、鬆弛技術RELAX的介紹
Dijkstra 演算法使用了鬆弛技術，對每個頂點v<-V，都設定一個屬性d[v]，用來描述從源點s到v的最短路徑上權值的上界，
稱為最短路徑的估計。

首先，得用O（V）的時間，來對最短路徑的估計，和對前驅進行初始化工作。
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
1  for each vertex v ∈ V[G]
2       do d[v] ← ∞
3          π[v] ← NIL      //O（V）
4  d[s] 0

RELAX(u, v, w)
1  if d[v] > d[u] + w(u, v)
2     then d[v] ← d[u] + w(u, v)
3          π[v] ← u        //O（E）
圖。

II、Dijkstra 演算法
此Dijkstra 演算法分三個步驟，
INSERT (第3行), EXTRACT-MIN (第5行), 和DECREASE-KEY(第8行的RELAX，呼叫此減小關鍵字的操作)。

DIJKSTRA(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)    //對每個頂點初始化 ，O(V) 
2  S ← Ø
3  Q ← V[G]            //INSERT，O(1)
4  while Q ≠ Ø
5      do u ← EXTRACT-MIN(Q)        //簡單的O(V*V)；二叉/項堆，和FIB-HEAP的話，則都為O(V*lgV)。
6         S ← S ∪{u}
7         for each vertex v ∈ Adj[u]
8             do RELAX(u, v, w)      //簡單方式:O(E)，二叉/項堆，E*O(lgV)，FIB-HEAP，E*O(1)。

四、Dijkstra 演算法的執行時間
在繼續闡述之前，得先宣告一個問題，DIJKSTRA（G，w，s）演算法中的第5行，EXTRACT-MIN(Q)，最小優先佇列的具體實現。
而Dijkstra 演算法的執行時間，則與此最小優先佇列的採取何種具體實現，有關。

最小優先佇列三種實現方法：
1、利用從1至|V| 編好號的頂點，簡單地將每一個d[v]存入一個數組中對應的第v項，
如上述DIJKSTRA（G，w，s）所示，Dijkstra 演算法的執行時間為O(V^2+E)。

2、如果是二叉/項堆實現最小優先佇列的話，EXTRACT-MIN(Q)的執行時間為O(V*lgV)，
所以，Dijkstra 演算法的執行時間為O(V*lgV+E*lgV)，
若所有頂點都是從源點可達的話，O（(V+E)*lgV）=O（E*lgV）。
當是稀疏圖時，則E=O(V^2/lgV)，此Dijkstra 演算法的執行時間為O(V^2)。

3、採用斐波那契堆實現最小優先佇列的話，EXTRACT-MIN(Q)的執行時間為O(V*lgV)，
所以，此Dijkstra 演算法的執行時間即為O(V*lgV+E)。

綜上所述，此最小優先佇列的三種實現方法比較如下：
      EXTRACT-MIN + RELAX
I、  簡單方式：  O（V*V + E*1）
II、 二叉/項堆： O（V*lgV + |E|*lgV）
       源點可達：O（E*lgV）
       稀疏圖時，有E=o（V^2/lgV），
            =>   O（V^2）  
III、斐波那契堆：O（V*lgV + E）

當|V|<<|E|時，採用DIJKSTRA（G，w，s）+ FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(Q)，即斐波那契堆實現最小優先佇列的話，
優勢就體現出來了。

五、Dijkstra 演算法 + FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)，斐波那契堆實現最小優先佇列
由以上內容，我們已經知道，用斐波那契堆來實現最小優先佇列，可以將執行時間提升到O（VlgV+E）。
|V|個EXTRACT-MIN 操作，每個平攤代價為O（lgV），|E|個DECREASE-KEY操作的每個平攤時間為O（1）。

下面，重點闡述DIJKSTRA(G, w, s)中，斐波那契堆實現最小優先佇列的操作。

由上，我們已經知道，DIJKSTRA演算法包含以下的三個步驟：
INSERT (第3行), EXTRACT-MIN (第5行), 和DECREASE-KEY(第8行的RELAX)。

先直接給出Dijkstra 演算法 + FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)的演算法：
DIJKSTRA(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2  S ← Ø
3  Q ← V[G]   //第3行，INSERT操作，O（1）
4  while Q ≠ Ø
5      do u ← EXTRACT-MIN(Q)   //第5行，EXTRACT-MIN操作，V*lgV
6         S ← S ∪{u}
7         for each vertex v ∈ Adj[u]
8             do RELAX(u, v, w)  //第8行，RELAX操作，E*O(1)

FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)  //平攤代價為O（lgV）
 1  z ← min[H]
 2  if z ≠ NIL
 3     then for each child x of z
 4              do add x to the root list of H
 5                 p[x] ← NIL
 6          remove z from the root list of H
 7          if z = right[z]
 8             then min[H] ← NIL
 9             else min[H] ← right[z]
10                  CONSOLIDATE(H)   
11          n[H] ← n[H] - 1
12  return z

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六、Dijkstra 演算法 +fibonacci堆各項步驟的具體分析
    ok，接下來，具體分步驟闡述以上各個操作：

第3行的INSERT操作：
FIB-HEAP-INSERT(H, x)   //平攤代價，O（1）.
 1  degree[x] ← 0
 2  p[x] ← NIL
 3  child[x] ← NIL
 4  left[x] ← x
 5  right[x] ← x
 6  mark[x] ← FALSE
 7  concatenate the root list containing x with root list H
 8  if min[H] = NIL or key[x] < key[min[H]]
 9     then min[H] ← x
10  n[H] ← n[H] + 1

第5行的EXTRACT-MIN操作： 
FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)  //平攤代價為O（lgV）
 1  z ← min[H]
 2  if z ≠ NIL
 3     then for each child x of z
 4              do add x to the root list of H
 5                 p[x] ← NIL
 6          remove z from the root list of H
 7          if z = right[z]
 8             then min[H] ← NIL
 9             else min[H] ← right[z]
10                  CONSOLIDATE(H)   //CONSOLIDATE演算法在下面，給出。
11          n[H] ← n[H] - 1
12  return z

下圖是FIB-HEAP-EXTRACT-MIN 的過程示意圖：

CONSOLIDATE(H)
 1 for i ← 0 to D(n[H])
 2      do A[i] ← NIL
 3 for each node w in the root list of H
 4      do x ← w
 5         d ← degree[x]        //子女數
 6         while A[d] ≠ NIL
 7             do y ← A[d]      
 8                if key[x] > key[y]
 9                   then exchange x <-> y
10                FIB-HEAP-LINK(H, y, x)  //下面給出。
11                A[d] ← NIL
12                d ← d + 1
13         A[d] ← x
14 min[H] ← NIL
15 for i ← 0 to D(n[H])
16      do if A[i] ≠ NIL
17            then add A[i] to the root list of H
18                 if min[H] = NIL or key[A[i]] < key[min[H]]
19                    then min[H] ← A[i]

FIB-HEAP-LINK(H, y, x)   //y連結至 x。
1  remove y from the root list of H
2  make y a child of x, incrementing degree[x]
3  mark[y] ← FALSE

第8行的RELAX的操作，已上已經給出:
RELAX(u, v, w)
1  if d[v] > d[u] + w(u, v)
2     then d[v] ← d[u] + w(u, v)
3          π[v] ← u        //O（E）

一般來說，在Dijkstra 演算法中，DECREASE-KEY的呼叫次數遠多於EXTRACT-MIN的呼叫，
所以在不增加EXTRACT-MIN 操作的平攤時間前提下，儘量減小DECREASE-KEY操作的平攤時間，都能獲得對比二叉堆更快的實現。

以下，是二叉堆，二項堆，斐波那契堆的各項操作的時間複雜度的比較：

操作                  二叉堆(最壞)       二項堆(最壞)     斐波那契堆(平攤)

__________________________________
MAKE-HEAP        Θ(1)                  Θ(1)                Θ(1)
INSERT               Θ(lg n)              O(lg n)            Θ(1)
MINIMUM           Θ(1)                  O(lg n)             Θ(1)
EXTRACT-MIN     Θ(lg n)              Θ(lg n)            O(lg n)
UNION               Θ(n)                  O(lg n)            Θ(1)
DECREASE-KEY   Θ(lg n)             Θ(lg n)              Θ(1)
DELETE              Θ(lg n)              Θ(lg n)             O(lg n)

斐波那契堆，日後會在本BLOG內，更進一步的深入與具體闡述。
且同時，此文，會不斷的加深與擴充套件。
完。