Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate element must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n2).

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.

這道題給了我們n+1個數，所有的數都在[1, n]區域內，首先讓我們證明必定會有一個重複數，這不禁讓我想起了小學華羅庚奧數中的抽屜原理(又叫鴿巢原理), 即如果有十個蘋果放到九個抽屜裡，如果蘋果全在抽屜裡，則至少有一個抽屜裡有兩個蘋果，這裡就不證明了，直接來做題吧。題目要求我們不能改變原陣列，即不能給原陣列排序，又不能用多餘空間，那麼雜湊表神馬的也就不用考慮了，又說時間小於O(n2)，也就不能用brute force的方法，那我們也就只能考慮用二分搜尋法了，我們在區別[1, n]中搜索，首先求出中點mid，然後遍歷整個陣列，統計所有小於等於mid的數的個數，如果個數大於mid，則說明重複值在[mid+1, n]之間，反之，重複值應在[1, mid-1]之間，然後依次類推，直到搜尋完成，此時的low就是我們要求的重複值，參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int low = 1, high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int mid = low + (high - low) * 0.5;
            int cnt = 0;
            for (auto a : nums) {
                if (a <= mid) ++cnt;
            }
            if (cnt <= mid) low = mid + 1;
            else high = mid;
        }
        return low;
    }
};
 

筆記：如果要求時間複雜度不能為O(n)或者O(n^2)，可以考慮使用額外空間（雜湊表），或者採用二分查詢法（時間複雜度為O(nlog(n))）。

經過熱心網友的留言提醒還有一種O(n)的解法，並給了參考帖子，發現真是一種不錯的解法，其核心思想快慢指標在之前的題目Linked List Cycle II中就有應用，這裡應用的更加巧妙一些，由於題目限定了區間[1,n]，所以可以巧妙的利用座標和數值之間相互轉換，而由於重複數字的存在，那麼一定會形成環，我們用快慢指標可以找到環並確定環的起始位置，確實是太巧妙了！

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int slow = 0, fast = 0, t = 0;
        while (true) {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
            if (slow == fast) break;
        }
        while (true) {
            slow = nums[slow];
            t = nums[t];
            if (slow == t) break;
        }
        return slow;
    }
};

筆記：首先確定對映關係，從而形成帶有環的連結串列。其次知道連結串列環的入口即為需要求解的重複資料，先用快慢指標找到環內某一節點，再從該節點和原點同時出發，經數學推導可知，它們首次相遇的節點即為連結串列環的入口，即為ans。