魔術球問題

Description

假設有 n 根柱子，現要按下述規則在這 n 根柱子中依次放入編號為 1，2，3，…的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何 2 個相鄰球的編號之和為完全平方數。
試設計一個演算法，計算出在 n 根柱子上最多能放多少個球。例如，在 4 根柱子上最多可放 11 個球。
對於給定的 n，計算在 n 根柱子上最多能放多少個球。

Input

檔案第 1 行有 1 個正整數 n，表示柱子數。

Output

將 n 根柱子上最多能放的球數以及相應的放置方案輸出。第一行是球數。接下來的 n 行，每行是一根柱子上的球的編號。

題解

直接求解較為困難，考慮轉化為判定性問題，即在n根柱子上能不能放a個球。
a個球在柱子上從下到上必然是從小到大的，那麼兩個球如果能放在一起（和偉完全平方數）那麼就將他們之間連一條從小編號指向大編號的有向邊，如此一來，每根柱子可以看做是這個途中的一條路徑，而用最小路徑覆蓋就可以求出最少需要的柱子數量。那麼我們從小到大列舉a，一旦最小路徑覆蓋數大於n，那麼a-1就是答案。方案也只需找到有向圖對應的二分圖中的匹配即可。
在實際實現的過程中，從小到大列舉a，每次只需要在上次計算過的殘量網路中新增一些邊再繼續增廣即可，比二分答案然後每次重新建圖的時間複雜度小許多。

#include<cstdio>
 

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 5000 + 10, M = 500000 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge{
    int fr, to, cap, flow;
}edg[M];
int hd[N], nxt[M];
int d[N], vis[N], q[N], dfn;
int s, t;
int n, ans, tot;
bool is_sq[N];
void insert(int u, int
 
 v, int w){
    edg[tot].fr = u, edg[tot].to = v, edg[tot].cap = w;
    nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot;
    tot++;
    edg[tot].fr = v, edg[tot].to = u;
    nxt[tot] = hd[v], hd[v] = tot;
    tot++;
}
bool bfs(){
    int head = 1, tail = 1;
    q[1] = s; vis[s] = ++dfn; d[s] = 0;
    while(head <= tail){
        int u = q[head++];
        for(int i = hd[u]; i >= 0; i = nxt[i]){
            Edge &e = edg[i];
            if(vis[e.to] == dfn || e.cap <= e.flow) continue;
            vis[e.to] = dfn;
            d[e.to] = d[u] + 1;
            q[++tail] = e.to;
        }
    }
    return vis[t] == dfn;
}
int dfs(int x, int a){
    if(x == t || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for(int i = hd[x]; i >= 0; i = nxt[i]){
        Edge &e = edg[i];
        if(d[e.to] == d[x] + 1 && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0){
            flow += f;
            e.flow += f;
            edg[i^1].flow -= f;
            a -= f;
            if(a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}
void work(){
    scanf("%d", &n);
    memset(hd, -1, sizeof(hd));
    s = 0; t = 1;
    for(int i = 1; i * i <= 5000; i++) is_sq[i*i] = 1;
    for(int a = 1, tmp = 1; ; a++, tmp++){
        insert(s, a<<1, 1);
        insert(a<<1|1, t, 1);
        for(int i = 1; i < a; i++)
            if(is_sq[a+i]) insert(i<<1, a<<1|1, 1);
        while(bfs())
            tmp -= dfs(s, inf);
        if(tmp > n){
            printf("%d\n", a - 1);
            break;
        }
    }
}

int main(){
    freopen("prog84.in", "r", stdin);
    freopen("prog84.out", "w", stdout);
    work();
    return 0;
}