最近在看演算法導論。

DP全稱是dynamic programming，這裡programming不是程式設計，是一個表格儲存之前的結果。

DP 是一種程式設計思想，主要用於解決最優解型別的問題。

其思路是為了求解當前的問題的最優解，使用子問題的最優解，然後綜合處理，最終得到原問題的最優解。

但是也不是說任何最優解問題都可以DP，使用dp的問題一般滿足下面的兩個特徵：

（1）最優子結構，就是指問題可以通過子問題最優解得到；體現為找出所有的子問題最優解，然後取其中的最優；

（2）重疊子問題，就是子問題是會重複的。而不是一直產生新的子問題（比如分治型別的問題）。

一般而言，滿足上述兩個條件的最優解問題都可以會使用DP來解決。

DP在演算法上的形式是什麼？

有兩種，一種是自頂向下，就是直接從原問題入手，不斷利用子問題來求解，這種寫法是一個遞迴地形式，但是需要加入備忘錄，就是說利用一個數組存已經算出的子問題的結果，下次遇到直接返回。這個思路叫做memoization，備忘錄。是一種空間換時間的做法，因為某些子問題會被呼叫到很多次，如果使用memo，那麼時間上會很高效。比如求斐波那契數列，幾乎每一個求解都會用到f(2)這樣的子問題，如果事先存好，那麼時間複雜度會下降很多。還有一點，memo不是為dp而生的，它也是一種思想或者技巧，在遞迴或者dfs中可以使用，如果要求時間複雜度可以考慮使用memo。

第二種是自底向上，這種不需要遞迴，就是不斷地計算出小問題的解，然後後面的問題就可以利用小問題的解得到。

下面是演算法導論中的一個簡單的例子，給出一個長度為n的鋼管，然後給出切割為不同長度以後的價格，問如何切割獲利最大。

/**
 * @author miracle
 *切割鋼條問題：
 *長度：1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
 *價格：1	5	8	9	10	17	17	20	24	30
 *問長度為n的鋼條的最多賣多少錢
 */
public class Solution {

	int[] prices = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
	int[] dp = new int[prices.length];
	public int solve(int[] prices, int n){
		if(n == 0) return 0;
		int max = Integer.MIN_VALUE;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			max = Math.max(max, prices[i] + solve(prices, n - i));
		}
		return max;
	}
	
	public int solveWithMemoUpToBottom(int[] prices, int n){
		if(n == 0 || dp[n] > 0) return dp[n];
		int max = Integer.MIN_VALUE;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			max = Math.max(max, prices[i] + solve(prices, n - i));
		}
		dp[n] = max;
		return max;
	}
	
	public int solveBottomToUp(int[] prices, int n){
		int[] dp = new int[prices.length];
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int max = Integer.MIN_VALUE;
			for(int j = 1; j <= i; j++){
				max = Math.max(max, prices[j] + prices[i - j]);
			}
			dp[i] = max;
		}
		return dp[n];
	}
	
	public static void main(String args[]){
		Solution s = new Solution();
//		System.out.println(s.solve(s.prices, 1));
//		System.out.println(s.solve(s.prices, 2));
//		System.out.println(s.solve(s.prices, 3));
//		System.out.println(s.solve(s.prices, 4));
//		System.out.println(s.solve(s.prices, 5));
		System.out.println(s.solveBottomToUp(s.prices, 1));
		System.out.println(s.solveBottomToUp(s.prices, 2));
		System.out.println(s.solveBottomToUp(s.prices, 3));
		System.out.println(s.solveBottomToUp(s.prices, 4));
		System.out.println(s.solveBottomToUp(s.prices, 5));
	}
}
 

就實際情況來看，一般還是使用非遞迴的bottom to up型別。但是memo在遞迴中的使用也是一個小的技巧。

最後說下遞迴，dp，分治的區別。

遞迴只是一種程式設計的思想，只要自己呼叫自己，就算是遞迴。

分治，有三步，先分，再各自處理，最後整合。這裡也涉及了子問題，這裡的子問題是不重疊的，每一個只被處理一次，因此不需要memo。

dp，可以使用遞迴，而且dp的子問題是重複的。

dp說白了是子問題或者遞迴+memo，他其實是一種brute force，只不過記錄了全部的結果，這就是為什麼dp適用於解決最優解問題的原因（開頭提到），其實它不一定非得解決最優解，只是它的思想使得它非常適合解決最優解問題。