最優連通子集

Time Limit: 1000MS	Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 3100	Accepted: 1666

Description

眾所周知，我們可以通過直角座標系把平面上的任何一個點P用一個有序數對(x, y)來唯一表示，如果x, y都是整數，我們就把點P稱為整點，否則點P稱為非整點。我們把平面上所有整點構成的集合記為W。 
定義1 兩個整點P1(x1, y1), P2(x2, y2)，若|x1-x2| + |y1-y2| = 1，則稱P1, P2相鄰，記作P1~P2，否則稱P1, P2不相鄰。 
定義 2 設點集S是W的一個有限子集，即S = {P1, P2,..., Pn}(n >= 1)，其中Pi(1 <= i <= n)屬於W，我們把S稱為整點集。 
定義 3 設S是一個整點集，若點R, T屬於S，且存在一個有限的點序列Q1, Q2, ?, Qk滿足: 
1. Qi屬於S（1 <= i <= k）; 
2. Q1 = R, Qk = T; 
3. Qi~Qi + 1(1 <= i <= k-1)，即Qi與Qi + 1相鄰; 
4. 對於任何1 <= i < j <= k有Qi ≠ Qj; 
我們則稱點R與點T在整點集S上連通，把點序列Q1, Q2,..., Qk稱為整點集S中連線點R與點T的一條道路。 
定義4 若整點集V滿足：對於V中的任何兩個整點，V中有且僅有一條連線這兩點的道路，則V稱為單整點集。 
定義5 對於平面上的每一個整點，我們可以賦予它一個整數，作為該點的權，於是我們把一個整點集中所有點的權的總和稱為該整點集的權和。 
我們希望對於給定的一個單整點集V，求出一個V的最優連通子集B，滿足： 
1. B是V的子集 
2. 對於B中的任何兩個整點，在B中連通； 
3. B是滿足條件(1)和(2)的所有整點集中權和最大的。 

Input

第1行是一個整數N（2 <= N <= 1000），表示單整點集V中點的個數； 
以下N行中，第i行(1 <= i <= N)有三個整數，Xi, Yi, Ci依次表示第i個點的橫座標，縱座標和權。同一行相鄰兩數之間用一個空格分隔。-10^6 <= Xi, Yi <= 10^6；-100 <= Ci <= 100。 

Output

僅一個整數，表示所求最優連通集的權和。

Sample Input

5
0 0 -2
0 1 1
1 0 1
0 -1 1
-1 0 1

Sample Output

2

Source

Noi 99

【思路】

整體的思路輪廓就兩句話：

1、這是一棵樹，最優連通塊必定也呈現樹狀的結構。

2、在以某個節點為根的子樹中，分包含此點與不包含此點兩種情況傳遞必能得到最優結果。

【程式碼】

//******************************************************************************
// File Name: POJ_1192.cpp
// Author: Shili_Xu
// E-Mail: [email protected]
// Created Time: 2018年08月07日 星期二 17時06分43秒
//******************************************************************************

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 1005;

struct node {
	int x, y, c;
};

int n;
node p[MAXN];
vector<int> g[MAXN];
int dp[MAXN][2];

void dfs(int u, int fa)
{
	dp[u][0] = 0;
	dp[u][1] = p[u].c;
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
		int v = g[u][i];
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		dp[u][0] = max(dp[u][0], max(dp[v][0], dp[v][1]));
		dp[u][1] += (dp[v][1] > 0 ? dp[v][1] : 0);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d %d %d", &p[i].x, &p[i].y, &p[i].c);
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			if (abs(p[i].x - p[j].x) + abs(p[i].y - p[j].y) == 1)
				g[i].push_back(j), g[j].push_back(i);
		}
	dfs(1, 0);
	printf("%d\n", max(dp[1][0], dp[1][1]));
	return 0;
}