線性代數：第一章 行列式（1）n階行列式 行列式的性質
第一節 n階行列式
一．數學概念
1． 逆序數
對於n個不同的元素，先規定各元素之間有一個標準次序(例如n個不同的自然數，可規定由小到大為標準次序)，於是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先後次序與標準次序不同時，就說有1個逆序。一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。
2． 奇排列與偶排列
逆序數為奇數的排列叫做奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列。
3． 對換
在排列中，將任意兩個元素對調，其餘的元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換。將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換)
4． n階列式
定義 設有n2 個數，排成n行n列的數表
作出表中位於不同行不同列的n個數的乘積，並冠以符號(-1) τ
的項，其中p1,p2,…,pn,為自然數1,2,…,n的一個排列，為這個排列的逆序數。由於這樣的排列共有n!個，因而形如上式的項共有n!項。所有這n!的代數和
稱為n階行列式，記作
簡記作det( 
)。數 稱為行列式det( )的元素。
二．基本原理公式
定理1.1 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。
推論 奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，偶排列調成標準排列的對換次數為偶數。
定理1.2 n階行列式也可定義為
其中t為行標排列 
的逆序數。
公式1
公式2
公式3
三．重點、難點分析
逆序數的概念和n階行列式的定義都比較抽象，難以理解。但要抓住實質，找出規律，就能透徹理解這些概念的實質。
關於求一個排列 
的逆序數，它等於每個數字 
的逆序之和，而對於 的逆序，可以求排列中 後面的數中比 小的數的個數，也可以求排列中 前面的數中比 大的數的個數。
關於n階行列式，它的計算結果是一個數或者是一個多項式，而它的一般項是每一行取一個元素(而且僅僅取一個元素)，要求取在不同的列上的n個元素的乘積。把這n個元素的行標(列標)排成自然排序，其相應列標(或行標)的排列為
。它是1,2,…,n這n個數組成的全排列中的某一個n級排列。該項所帶符號即是該列標(行標)排列的逆序數的奇偶性所決定的。對一般項(n!個)求和，即為行列式的值。
易見，若用行列式的定義來計算行列式是十分複雜和困難的。所以，我們用n
行列式的定義是行列式計算的基礎，是學習行列式的重點。
四．典型例題分析
例1．設
，
則 
中 
的係數為_______； 
的係數為_______；常數項為_______。
解：本解的解法主要是用行列式的定義，因為 是關於未知數是x的一個4次多項式，而含x4的項只有一項
，含 
的項有兩項 
和 
，常數項為 
。故 
的係數為2， 的係數為－10，常數項為12。
第二節 行列式的性質
一．數學概念
轉置行列式
設
行列式DT稱為行式列D的轉置行列式。
二．基本性質
性質1 行列式與它的轉置行列式相等。
性質2 互換行列式的兩行(列)，行列式變號。
推論 如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。
性質3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。
推論 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。
性質4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。
性質5 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和，例如第j列的元素都是兩數之和：
則D等於下列兩個行列式之和
性質6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。
三．重點，難點分析
行列式的六條基本性質是把一般的行列式變成第一節所給出的三個基本公式的鑰匙，它是計算行列式必須掌握的重要理論，其難點就是如何靈活運用行列式的六條基本性質，巧妙而簡捷地計算出行列式的值，掌握運算的技巧可以提高運算的速度和準確率，從而達到事半功倍的效果。
四．典型例題分析
我們知道，給出行列式的定義後，用定義直接計算行列式是比較麻煩的，例如，計算4階行列式，用定義去計算要算24項，一個n階的如行列式要算n!個項的代數和，但只有行列式的六條基本性質之後，就可使運算化簡，從而快速計算行列式。
例2．計算
解：由於該行列式的所有列加到一起得同一個數a+(n-1)x，我們就根據這一特點，用行列式的性質6，將Dn的第2列，第3列，…，第n列的1倍同時加到第1列上去，再由性質3的推論，將公因子a+(n-1)x提出來，得
通過上面例題，我們看到主要是行列式的性質將一個行列式化成公式形式，再直接用公式的結果。這雖然比直接用定義計算簡單，但是，還要經過許多步的運算才能得出結果。並且，我們在計算中還體會到計算階數低的行列式要比階數高的行列式簡單，所以我們繼續探求新的計算行列式的方法。
from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm