快速傅立葉變換，在競賽中離散傅立葉變換DFT及其逆變換IDFT尤為常用，主要用於快速求多項式的乘積。形式化地說，多項式就是某個f(x)=∑i=0naixi，兩個係數分別為ai和bi，那麼(f×g)(x)=f(x)g(x)=∑i=0n∑j=0naibjxi+j，容易看出這個多項式是2n次的。
【補充知識1】我們接著先看一下一個叫卷積的東西。卷積實際上就是對應相乘，(f⊗g)(x)=∑i=0naibixi，可以稍微理解一下，實質上我們如果將乘法視為一種變換，卷積就是在向量上的變換的疊加。
【補充知識2】
其實，對於一條n次的多項式曲線，我們可以通過類比認識到我們需要n+1個不同的點就可以唯一確定這條曲線。比如說一次函式需兩個點，二次函式需三個點，等等。我們考慮到，我們表達這些函式為f

(x)=∑i=0naixi，那麼如果我們現在得知了n+1個函式上的點，直接代入就可以相應得出n+1個方程，由於點兩兩不同，所以這個方程組一定恰有一組解，這也就確定了一條唯一的曲線。

好的，接下來是真正的內容。
我們可以發現，要確定最終的(f⊗g)(x)，需要使用2n+1個點值表達，也就是在最終結果曲線上的2n+1個點。我們如果考慮在f(x)和g(x)上取2n+1個點，設為(xi,yfi)和(xi,ygi)，我們發現只要將其卷積一下，我們就能夠找到這2n+1個點。這是很好理解的，因為將yfi和ygi卷積後作為新的縱座標所得到的點，顯然就在(f⊗g)(x)上。
那麼我們的問題就只剩下怎樣計算和如何再次快速確定了。
我們考慮下分治，如果我們將係數向量中奇數項和偶數項分開來，我們會發現所得的兩個式子間有一定的相似性：

a1x1+a3x3+⋯+a2k+1x2k+1a0x0+a2x2+⋯+a2kx2k+⋯
實際上，我們考慮將上面的式子變為x(a1x0+a3x2+⋯+a2k+1x2k+⋯)，再將各項的次數折半（因為是偶數），我們現在就能夠得到兩個規模相對於原來的問題減半的子問題，可以遞迴求解，這裡我們就得出了DFT的演算法，由主定理對於T(n)=2T(n2)+O(n)，馬上看出其複雜度O(nlgn)。
但是，在還原的時候，我們卻遇到了一個困難：我們如何將點值表達快速變為係數表達？難道我們去用高斯消元法？這樣O(n3)豈不是比原來還慢？我們來觀察一下DFT的實質。我們將DFT的效果寫成這樣一個矩陣：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢

11⋮1x0x1⋮

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