[FFT] 快速傅立葉變換學習筆記

阿新 • • 發佈：2018-12-10

原文：https://blog.csdn.net/herano/article/details/71213373
-1、為什麼學 FFT

退役（很早）之前聽說 FFT 很神（e）奇（xin），Po姐來講的時候也是膜（sha）了（ye）一（bu）發（dong），於是就放那裡了。退役之後有（xian）了（de）時（mei）間（shi），~~並且在籃球賽之前立了贏一場的 flag 否則學FFT結果又雙叒叕全輸了~~，於是下面就是成果了……網上 FFT 講解多得是不看也罷……

0、什麼是 FFT？為什麼 FFT？

0.1、為什麼 FFT？

從一個簡單問題說起：大整數乘法。在做 VijosP2000 的時候，看資料範圍

O(n2)O(n2) 的 FFT 了。

0.2、什麼是 FFT？

FFT（Fast Fourier Transform），全名快速傅立葉變換，這與傅立葉變換只有半毛錢的關係，傅立葉變換是分析波的成分的方法，通過推廣傅立葉變換得到了優化的快速傅立葉變換，為了展示區別和聯絡，下面是傅立葉變換和傅立葉逆變換的公式：
傅立葉變換：

F(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdt 的原像函式。具體問題請參考《高等數學》，博主還是高中生……（高中高等數學233333）
然後，我們終於可以開始講 FFT 了……

1 、（初中知識）多項式

1.1、定義

我們把形如 a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 等類似形式表示。

1.2、多項式的兩種表示法

1.2.1、係數表示法

我們知道，向量是個好東西（蛤？），矩陣也是個好東西（蛤？），於是我們把三者結合起來看（蛤玩意？）。
我們將 n−1

1.2.2、點值表示法

我們把多項式 A(x) 的點值表示。
到這裡，是不是差不多忘了要幹什麼了……

1.3、多項式的運算

1.3.1、多項式求值

這個比較簡單，拿題說。這是我還沒出也不想出的一道題，拿出來娛樂一下……
題目描述 Description

都知道 FZ 醬數學不好，數學老師很著急，於是讓她求個多項式的值。但是數學老師一不小心資料就出大了，他卻並沒有注意到這一點。老師共出了 T 道題就崩潰了，請幫她儘快完成作業。

輸入 Input

第一行一個整數 T。

輸出 Output

對於每組資料，輸出一行，為答案。

樣例輸入 Sample Input

2
2
3 2
100
3
1 2 3
-9

樣例輸出 Sample Output

203
226

樣例解釋 Explanation

對於第一個多項式為 A(x)=2x+3。

限制 Limits

對於 50% 位。

那麼很好我們必須寫高精度了……
2128−1≈3.4×1038。

1.3.1.1、方法一：O(pn2)→50pts

暴力不會嗎？
核心程式碼如下：
Algorithm1

1.3.1.2、方法二：O(p2nlog2n)→[50,80]pts

這裡挨個乘太慢了，快速冪處理會快一些。
（其實不一定會快多少）
核心程式碼如下：
Algorithm2

1.3.1.3、方法三：O(p2n)→100pts

學過必修三嗎？
學過必修三還不會？
拿出數學必修三翻到 37 頁你看到了什麼？
秦九韶演算法可以大量減少乘法和加法次數，並且把運算量簡化為 O(n) 的。
核心程式碼如下：
Algorithm3_2
不過沒上面的優雅不是嗎……（呵呵）
回到正題上，我們要談的其實是……

1.3.2、多項式的加法和乘法

1.3.2.1、多項式加法

沒啥難度，直接加即可：

C(x)=A(x)+B(x)=∑i=0n−1aixi+∑j=0n−1bjxj=∑i=0n−1(ai+bi)xi=∑i=0n−1cixiC(x)=A(x)+B(x)=∑i=0n−1aixi+∑j=0n−1bjxj=∑i=0n−1(ai+bi)xi=∑i=0n−1cixi 完成。

1.3.2.2、多項式乘法

這就是個開括號的問題……
兩個次數界為 na,nb 就可以知道了。

C(x)=∑i=02n−2(∑j=0iajbi−j)xi=∑i=02n−2cixiC(x)=∑i=02n−2(∑j=0iajbi−j)xi=∑