快速傅立葉變換（ $\text{Fast Fourier Transform,FFT}$ ）是一種能在 $O($

n log ⁡ n ) O(n \log n) 的時間內完成多項式乘法的演算法，在 $OI$

OI 中的應用很多，是多項式相關內容的基礎。下面從頭開始介紹 $\text{FFT}$。

前置技能：弧度制、三角函式、平面向量。

多項式

形如 $f($

x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n 的式子稱為 $x$的 $n$次多項式。其中 $a_0,a_1,...,a_n$稱為多項式的係數。

係數表達法

上面定義中的表示就是係數表達法。其係數可看成 $n+1$維向量 $\vec a=(a_0,a_1,...,a_n)$。

點值表達法

把多項式看成一個函式，點值表示就用它影象上的 $n+1$個不同的點 $(x_0,y_0),...,(x_n,y_n)$來確定這個多項式。多項式有不止一個點值表示，可以證明每個點值表示確定唯一的係數表達多項式。

複數

虛數單位

$i$被稱為虛數單位。規定 $i=\sqrt {-1}$。

複平面

複數的平面由 $x,y$軸組成。 $x$軸稱為實軸， $y$軸稱為虛軸。平面內的每一個從原點到某個點 $(a,b)$的向量 $\vec a=(a,b)$表示複數 $a+bi$.

複數的模長： $\sqrt {a^2+b^2}$.實軸到複數向量的轉角 $\theta$稱為幅角。

複數的基本運算

• 複數的加（減）法： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

• 複數的乘法： $(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i$

• 一個結論：複數乘法，模長相乘，幅角相加。

共軛複數

$a+bi$與 $a-bi$互為共軛複數。

單位根

$n$次單位根是滿足 $z^n=1$的 $n$個複數，它們均分複平面的單位圓。

這些複數滿足模長為 $1$，幅角的 $n$倍是 $2\pi$的倍數

根據尤拉公式：

尤拉公式： $e^{xi}=\cos x+i \sin x$，其中 $e$為自然對數的底數， $i$為虛數單位。

可得 $n$次單位根為 $e^{\frac{2\pi ki}{n}},k\in [0,n-1]$

得：記 $\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}},$則 $n$次單位根為 $\omega_n^0,...,\omega_n^{n-1}$

單位根的性質

性質 $1$：根據定義得到： $\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}$