本文主要簡單介紹了利用python程式碼實現壓縮感知的過程。

壓縮感知簡介

【具體可以參考這篇文章】
假設一維訊號x長度為N，稀疏度為K。Φ 為大小M×N矩陣(M<<N)。y=Φ×x為長度M的一維測量值。壓縮感知問題就是已知測量值y和測量矩陣Φ的基礎上，求解欠定方程組y=Φ×x得到原訊號x。Φ的每一行可以看作是一個感測器（Sensor），它與訊號相乘，取樣了訊號的一部分資訊。而這一部分資訊足以代表原訊號，並能找到一個演算法來高概率恢復原訊號。 一般的自然訊號x本身並不是稀疏的，需要在某種稀疏基上進行稀疏表示x=ψs,ψ為稀疏基矩陣，S為稀疏係數。所以整個壓縮感知過程可以描述為

重建演算法：OMP演算法簡析

OMP演算法
輸 入:測量值y、感測矩陣Phi=Φψ、稀疏度K
初始化:初始殘差 r0=y,迭代次數t=1,索引值集合index;
步 驟:
1、找到殘差r和感測矩陣的列積中最大值對應下標，也就是找到二者內積絕對值最大的一個元素對應的下標，儲存到index當中
2、利用index從感測矩陣中找到，新的索引集Phit
3、利用最小二乘法處理新的索引集和y得到新的近似值θ=argmin||y−Phitθ||2
4、計算新的殘差r

實驗

要利用python實現，電腦必須安裝以下程式

• python （本文用的python版本為3.5.1）
• numpy python包（本文用的版本為1.10.4）
• scipy python包（本文用的版本為0.17.0）
• pillow python包（本文用的版本為3.1.1）

python程式碼

#coding:utf-8
 

#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# DCT基作為稀疏基，重建演算法為OMP演算法 ，影象按列進行處理
# 參考文獻: 任曉馨. 壓縮感知貪婪匹配追蹤類重建演算法研究[D]. 
#北京交通大學, 2012.
#
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# 匯入所需的第三方庫檔案
import  numpy as np
import math
from PIL import Image

#讀取影象，並變成numpy型別的 array
im = np.array(Image.open('lena.bmp')) #圖片大小256*256

#生成高斯隨機測量矩陣
sampleRate=0.7  #取樣率
Phi=np.random.randn(256*sampleRate,256)

#生成稀疏基DCT矩陣
mat_dct_1d=np.zeros((256,256))
v=range(256)
for k in range(0,256):  
    dct_1d=np.cos(np.dot(v,k*math.pi/256))
    if k>0:
        dct_1d=dct_1d-np.mean(dct_1d)
    mat_dct_1d[:,k]=dct_1d/np.linalg.norm(dct_1d)

#隨機測量
img_cs_1d=np.dot(Phi,im)

#OMP演算法函式
def cs_omp(y,D):    
    L=math.floor(3*(y.shape[0])/4)
    residual=y  #初始化殘差
    index=np.zeros((L),dtype=int)
    for i in range(L):
        index[i]= -1
    result=np.zeros((256))
    for j in range(L):  #迭代次數
        product=np.fabs(np.dot(D.T,residual))
        pos=np.argmax(product)  #最大投影係數對應的位置        
        index[j]=pos
        my=np.linalg.pinv(D[:,index>=0]) #最小二乘,看參考文獻1           
        a=np.dot(my,y) #最小二乘,看參考文獻1     
        residual=y-np.dot(D[:,index>=0],a)
    result[index>=0]=a
    return  result

#重建
sparse_rec_1d=np.zeros((256,256))   # 初始化稀疏係數矩陣    
Theta_1d=np.dot(Phi,mat_dct_1d)   #測量矩陣乘上基矩陣
for i in range(256):
    print('正在重建第',i,'列。')
    column_rec=cs_omp(img_cs_1d[:,i],Theta_1d) #利用OMP演算法計算稀疏係數
    sparse_rec_1d[:,i]=column_rec;        
img_rec=np.dot(mat_dct_1d,sparse_rec_1d)          #稀疏係數乘上基矩陣

#顯示重建後的圖片
image2=Image.fromarray(img_rec)
image2.show()

matlab程式碼

%這個程式碼是網上某位大哥寫的，在此謝過了~
function Demo_CS_OMP()
%------------ read in the image --------------
img=imread('lena.bmp');     % testing image
img=double(img);
[height,width]=size(img);
%------------ form the measurement matrix and base matrix -------
Phi=randn(floor(0.7*height),width);  % only keep one third of the original data  
Phi = Phi./repmat(sqrt(sum(Phi.^2,1)),[floor(0.7*height),1]); % normalize each column

mat_dct_1d=zeros(256,256);  % building the DCT basis (corresponding to each column)
for k=0:1:255 
    dct_1d=cos([0:1:255]'*k*pi/256);
    if k>0
        dct_1d=dct_1d-mean(dct_1d); 
    end;
    mat_dct_1d(:,k+1)=dct_1d/norm(dct_1d);
end

%--------- projection ---------
img_cs_1d=Phi*img;  

%-------- recover using omp ------------
sparse_rec_1d=zeros(height,width);  
Theta_1d=Phi*mat_dct_1d;%測量矩陣乘上基矩陣
for i=1:width
    column_rec=cs_omp(img_cs_1d(:,i),Theta_1d,height);
    sparse_rec_1d(:,i)=column_rec'; %  稀疏係數
end
img_rec_1d=mat_dct_1d*sparse_rec_1d;  %稀疏係數乘上基矩陣


%------------ show the results --------------------
figure(1)
subplot(2,2,1),imshow(uint8(img)),title('original image')
subplot(2,2,2),imagesc(Phi),title('measurement mat')
subplot(2,2,3),imagesc(mat_dct_1d),title('1d dct mat')
psnr = 20*log10(255/sqrt(mean((img(:)-img_rec_1d(:)).^2)));
subplot(2,2,4),imshow(uint8(img_rec_1d));
title(strcat('PSNR=',num2str(psnr),'dB'));

%*******************************************************%
function hat_x=cs_omp(y,T_Mat,m)
% y=T_Mat*x, T_Mat is n-by-m
% y - measurements
% T_Mat - combination of random matrix and sparse representation basis
% m - size of the original signal
% the sparsity is length(y)/4

n=length(y);
s=floor(3*n/4); %  測量值維數
hat_x=zeros(1,m); %  待重構的譜域(變換域)向量                     
Aug_t=[];        %  增量矩陣(初始值為空矩陣)
r_n=y;  %  殘差值 

for times=1:s; %  迭代次數(稀疏度是測量的1/4)

    product=abs(T_Mat'*r_n);    
    [val,pos]=max(product);   %最大投影係數對應的位置
    Aug_t=[Aug_t,T_Mat(:,pos)];   %矩陣擴充
    T_Mat(:,pos)=zeros(n,1); %選中的列置零
    aug_x=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*y;  % 最小二乘,看參考文獻1
    r_n=y-Aug_t*aug_x;   %殘差
    pos_array(times)=pos;   %紀錄最大投影係數的位置

end
hat_x(pos_array)=aug_x;  %  重構的向量 

參考文獻

1、最小二乘法介紹 （wiki連結）
2、任曉馨. 壓縮感知貪婪匹配追蹤類重建演算法研究[D]. 北京交通大學, 2012.（OMP演算法介紹）

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