同餘定理是數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足（a-b）能夠被m整除，即（a-b）/m得到一個整數，那麼就稱整數a與b對模m同餘，記作a≡b(mod m)。

同餘符號

兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a與b對模m同餘或a同餘於b模m。記作a≡b(mod m)

【定義】 設m是大於1的正整數，a、b是整數，如果m|(a-b)，則稱a與b關於模m同餘，記作a≡b(mod m)。顯然有如下事實：

• 若a≡0(mod m)，則m|a;
• a≡b(mod m)等價於a與b分別用m去除，餘數相同。

證明
充分性：
若a和b用m相除留下相同的餘數r，則 a=q1m+r

必要性：
若a和b用m相除留下相同的餘數r，則 a=q1m+r,b=q2m+r,所以a-b=m(q1-q2) 故 m|(a-b)。

同餘性質

• 反身性：a≡a (mod m)

• 對稱性： 若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)

• 傳遞性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡c(mod m)

• 同餘式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a ± c≡b ± d(mod m)

• 同餘式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則ac≡bd(mod m)

• 線性運算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那麼a ± c≡b ± d(mod m)，且a * c≡b * d(mod m)

• 除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 則 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公約數。特殊地 ,gcd(c,m)=1 則a ≡ b (mod m)

• 冪運算：如果a ≡ b (mod m)，那麼a^n ≡ b^n (mod m)

• 若a ≡ b (mod m)，n|m,則 a ≡ b (mod n)

• 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 則 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍數

相關定理

• 尤拉定理
• 費馬小定理
• 中國剩餘定理（孫子定理）