（注：文中涉及到一些邏輯推導，普通讀者可以略過，這並不影響對結論的理解。自認為思維能力強的讀者可以通篇閱讀）

我們從初中，甚至小學就聽說過勾股定理，也能很輕易的舉出幾個例子，比如：，。公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”，這也是在中國古代歷史上眾所周知的一些數學成就中的一個，因此許多人把它當做是中國的驕傲。勾股定理的具體定義為：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

其實，在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股陣列。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股陣列。(3, 4, 5)就是最簡單的一個勾股陣列。

雖然古巴比倫和中國在很早就發現並應用了勾股定理，但是這個定理直到公元前六世紀才被希臘數學家畢達哥拉斯所證明，因而在數學界這個定理稱為畢達哥拉斯定理（Pythagorean Theorem），勾股陣列也稱為畢達哥拉斯三元陣列（Pythagoream Triples）。這充分說明了數學重在邏輯的嚴謹性，而不是其應用性。下面我們將使用數學界公認的名字來敘述它。

畢達哥拉斯像

我們知道(3, 4, 5)和(5, 12, 13)都是畢達哥拉斯三元陣列，那麼還有沒有其他的畢達哥拉斯三元陣列呢？

如果將(3, 4, 5)中的每一個都乘以一個相同的正整數k，顯然有

由此可知(3k, 4k, 5k)同樣也是一個畢達哥拉斯三元陣列。由於k可以是任意的正整數，因此我們可以說畢達哥拉斯三元陣列有無窮多個。但是，我們知道，這樣的(3k, 4k, 5k)與(3, 4, 5)本質上沒有什麼區別，以它們為邊的直角三角形是相似的，找到再多也沒有多大的意義。我們要找的是沒有公因子的三元陣列，即

下表中列出了幾個素畢達哥拉斯三元陣列：

(3, 4, 5)

(5, 12, 13)

(15, 8, 17)

(21, 20, 29)

(35, 12, 37)

...

從中可以看出，最後一個都是奇數，前兩個中，一個是奇數，一個是偶數。讓我們來簡單的分析一下這是不是一定成立。

令(a, b, c)是一個素畢達哥拉斯三元陣列。如果a與b都為偶數，那麼c也是偶數。這樣a、b和c有公因子2，這與(a, b, c)是一個素畢達哥拉斯三元陣列相矛盾。

如果a與b都為奇數，那麼c為偶數。這意味著存在正整數x、y和z，使

將之代入 ，得到

上式除以2，得

最後的等式表明一個奇數等於一個偶數，這是不可能的，所以a與b不能同時是奇數。

我們知道a與b一個為奇，一個為偶。由此，c必定為奇數。

到此，如果(a, b, c)是一個素畢達哥拉斯三元陣列，那麼c一定是奇數，a與b一個為奇數，一個為偶數。

考慮的因式分解

 根據前面的例子，我們讓a始終為奇數、b為偶數，則有以下等式

...

我們看到，在上面幾個例子中，等式最右邊的兩個數都是平方數(某個整數的平方)。那是不是所有的(c + b)和(c - b)都是平方數呢？下面我們來看看這個結論是否成立。

首先我們要證明(c + b)與(c - b)沒有公因子。

不妨假設(c + b)和(c - b)有公因子p，則p能整除以下兩個等式

即p能整除2c和2b。但是c和b沒有公因子，因為(a, b, c)是素畢達哥拉斯三元陣列。因此，p只能整除1或者2。但是p能整除，而a為奇數，所以p只能整除1，即p = 1。這就證明了(c + b)與(c - b)沒有公因子。

再者，令p是a的一個素數因子，則整除，根據上面的討論，只能整除(c + b)和(c - b)中的一個。對於a的所有素數因子，有

適當交換順序，則存在使

於是，我們可以得出結論：如果(a, b, c)是一個素畢達哥拉斯三元陣列，那麼(c + b)與(c - b)是一定都是平方數。這樣，我們能把(c + b)和(c - b)寫成

其中，s和t是互素的奇數。我們得到

考慮三原陣列

如果p是這三個數的公因子，則p顯然整除後兩個數的和，同樣整除後兩個數的差，從而p整除s且p整除t。而根據假設，s和t互素，所以p = 1，因而此三元陣列中的數互素。再者，進過簡單計算可知以下等式成立

討論進行到這裡，我們終於得出了最終的結論：如果s和t是互素的奇數，且，那麼a、b和c：

組成一個素畢達哥拉斯三元陣列(a, b, c)。

這樣，我們得到了一個找出所有滿足的素畢達哥拉斯三元陣列(a, b, c)的一般方法。

現在我們應用這個方法來找出一組(a, b, c)。令s = 9，t = 11，則

讀者可以自行驗證一下等式：是否成立。

注：我們特意準備了1000組這樣的三元數，有興趣的讀者請掃描下方二維碼關注本公眾號，然後回覆“三元數”進行檢視。

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