什麼是叉積

　　向量的叉積也叫外積、向量積、叉乘或向量積。兩個向量的叉積是這樣表示的：

　　在二維空間內，向量A = <a₁, a₂>，B = <b₁, b₂>

　　其幾何意義就是以兩個向量為邊的平行四邊形的面積，這在上篇文章中給出了詳細說明。

　　此外，叉積也適用於兩個在三維空間內的向量。在三維空間內，向量A = <a₁, a₂, a₃>，B = <b₁, b₂, b₃>，C = <c₁, c₂, c₃>

　　i, j, k是三個維度中每個維度的單位向量，有點像三階行列式，但並不是常理上的行列式，因為行列式不會出現向量，這裡僅僅是為了便於表達和記憶。

　　從上面的描述中可以看出，叉積得到的是一個向量，而不是一個數字，也因此，A×B和B×A並不等同，實際上，

叉積的幾何意義

　　向量的兩個要素是模長和方向，讓我們從這兩個角度考慮叉積的幾何意義。

　　在模長上，叉積的幾何意義是以兩個向量為邊的平行四邊形的面積：

　　兩個相同向量的叉積是0，

　　如果用幾何意義解釋，二者構成一條線段，線段的面積是0。

　　在方向上，叉積垂直於平行四邊形所在的平面：

　　由於叉積存在負值，所以垂直的方向可能向上或向下，具體方向根據右手法則判斷。

　　右手法則很有意思，首先要保持拇指朝上，然後其他四指指向叉積的第一個向量，向內彎曲四指指向另一個向量。如果兩個向量的方向能符合這個手勢，此時拇指的方向就是叉積的方向；如果必須向外彎曲四指，拇指的反方向是叉積的方向。總之，最終能夠以一個舒服的方向豎起拇指就對了。

叉積的作用

計算平行六面體的體積

　　所謂平行六面體，就是六面體的每個面都是平行四邊形，如下圖所示：

　　向量H是垂直於底面的向量，|H|是六面體的高，可看作向量A在H方向上的分量，分量可以用點積表示，這在上一篇中敘述過。如果令u是H方向的單位向量：

判斷點是否在同一平面

　　空間內的三點可以確定一個平面，P₁，P₂，P₃是空間中的三個點，另有一點P，如何判斷P是否在平面內？

P是否在P₁，P₂，P₃組成的平面內？

　　可以藉助向量通過上一節中平行六面體體積的知識判斷，如下圖所示：

　　這樣形成了三個向量，|P₁P₃×P₁P₂| 是這兩個向量圍成的平行四邊形的面積，P₁

計算法向量

　　也可以用另一種方法求解上面的問題，這需要法向量的幫助。一個與平面垂直的向量稱為該平面的法向量，一個平面有無數條法向量，法向量與一個常數的乘積還是法向量。

　　N是平面的法向量，如果N⊥P₁P，則P在平面內。根據點積的知識，N·P₁P = 0，則N⊥P₁P。如何計算N呢？實際上，N就是P₁P₃與P₁P₂的叉積。

　　如果P在平面內，則體積 = P₁P·（P₁P₃×P₁P₂）= 0；由於N⊥P₁P，N·P₁P = 0，結合二者：

P₁P·（P₁P₃×P₁P₂）= P₁P· N = 0

 => N = P₁P₃×P₁P₂

示例

示例1

　　平行六面體是三條邊是三個向量<2, 2, 0>，<1, 0, 1>，<0, 1, 1>，求該六面體的體積。

　　很明顯是相交於<0, 0, 0>的三個向量，設三個向量分別是A，B，C

　　體積是4

示例2

　　計算三個點圍成的三角形的面積，P₁(-1, 0 , 1)，P₂(0, 2, 2)，P₃(0, -1, 2)

　　使用叉積很容易計算，需要注意的是，點積和叉乘僅對向量有意義，對點來說則毫無用處，所以首先需要將點轉換為向量。