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元組關系演算
之前學習了一下關系代數表達式，現在再學習一下元組關系的演算，這樣就全了。這篇東西的符號打出來費了好多時間，比較麻煩，還好看著還能看懂，關鍵是全文本的，好下面開始正文。
為了討論方便，先允許關系的基數是無限的。然後再對這種情況下定義的演算作適當的修改，保證關系演算中的每一個公式表示的是有限關系。
在元組關系演算系統中，稱 {t|Φ(t)} 為元組演算表達式。其中 t 是元組變量， Φ(t) 為元組關系演算公式，簡稱公式。
它由原子公式和運算符組成。
原子公式有三類：
(1) R(t)
R 是關系名， t 是元組變量。 R(t) 表示 t 是 R 中的元組。於是，關系 R 可表示為： {t|R(t)}
(2) t[i] θ u[j]
t 和 u 是元組變量， θ 是算術比較運算符。 t[i] θ u[j] 表示斷言 “ 元組 t 的第 i 個分量與元組 u 的第 j 個分量滿足比較關系 θ ” 。例如， t[2] < u[3] 表示元組 t 的第 2 個分量小於元組 u 的第 3 個分量。
(3) t[i] θ c 或 c θ t[i]
這裏 c 是常量，該公式表示 “t 的第 i 個分量與常量 C 滿足比較關系 θ” 。例如： t[4]=3 表示元組 t 的第 4 個分量等於 3 。
在關系演算中定義了 “ 自由元組變量 ” 和 “ 約束元組變量 ” 的概念。這些概念和謂詞演算中的概念完全一樣。若公式中的一個元組變量前有 “ 全稱量詞 ” 或 “ 存在量詞 ” ，則稱該變量為約束元組變量，否則稱自由元組變量。
公式可以遞歸定義如下：
(l) 每個原子公式是公式。
(2) 如果 Φ 1 和 Φ 2 是公式，則 Φ 1 ∧ Φ 2 、 Φ 1 ∨ Φ 2 、 ﹁ Φ1 也是公式。分別表示：
① 如果 Φ 1 和 Φ 2 同時為真。則 Φ 1 ∧ Φ 2 才為真，否則為假；
② 如果 Φ 1 和 Φ 2 中一個或同時為真，則 Φ 1 ∨ Φ 2 為真，僅 Φ 1 和 Φ 2 同時為假時， Φ 1 ∨ Φ 2 才為假；
③ 如果 Φ 1 真，則 ﹁ Φ 1 為假。
(3) 若 Φ 是公式，則 ? t(Φ) 也是公式。其中符號 ? 是存在量詞符號， ? t(Φ) 表示：
若有一個 t 使 Φ 為真，則 ? t(Φ) 為真，否則 ? t(Φ) 為假。
(4) 若 Φ 是公式，則 ? t( Φ ) 也是公式。其中符號 ? 是全稱量詞符號， ? t( Φ ) 表示：
如果對所有 t ，都使 Φ 為真，則 ? t( Φ ) 必為真，否則 ? t( Φ ) 為假。
(5) 在元組演算公式中，各種運算符的優先次序為：
① 算術比較運算符最高；
② 量詞次之，且 ? 的優先級高於 ? 的優先級；
③ 邏輯運算符最低，且 ﹁ 的優先級高於 ∧ 的優先級， ∧ 的優先級高於 ∨ 的優先級；
④ 加括號時，括號中運算符優先，同一括號內的運算符之優先級遵循 ①②③ 各項。
(6) 有限次地使用上述五條規則得到的公式是元組關系演算公式，其他公式不是元組關系演算公式。
一個元組演算表達式 {t|Φ(t)} 表示了使 Φ(t) 為真的元組集合。
關系代數的運算均可以用關系演算表達式來表示 ( 反之亦然 ) 。下面用關系演算表達式來表示五種基本運算：
(1) 並
R ∪ S={t|R(t) ∨ S(t)}
(2) 差
R － S={t|R(t) ∧ ﹁ S(t)}
(3) 笛卡爾積
R×S={t (n+m) |( ? u (n) )( ? v (m) )(R(u) ∧ S(v) ∧ t[1]=u[1] ∧ ... ∧ t[n]=u[n] ∧ t[n+1]=v[1] ∧ ... ∧ t[n+m]=v[m])}
註： t (n+m) 表示 t 有目數 (n+m)
(4) 投影
π t1,t2,...,tk (R)={t (k) |( ? u )(R(u) ∧ t[1]=u[i1] ∧ ...t[k]=u[ik] )}
(5) 選擇
σ F (R)={t|R(t) ∧ F}
註： F 是公式。 F 用 t[i] 代替 運 算 對 象 i 得到的等價公式。
例 1 查詢信息系 (IS 系 ) 全體學生：
S IS ={Student(t) ∧ t[5]=‘IS‘}
例 2 查詢年齡小於 20 歲的學生。
S 20 ={Student(t) ∧ t[4]<20}
例 3 查詢學生的姓名和所在系。
S={t (2) |( ? u)(Student(u) ∧ t[1]=u[2] ∧ t[2]=u[5])}
上面定義的關系演算允許出現無限關系。例如 {t| ﹁ R(t)} 表示所有不屬於 R 的元組 ( 元組的目數等於 R 的目數 ) 。要求出這些可能的元組是做不到的，所以必須排除這類無意義的表達式。把不產生無限關系的表達式稱為安全表達式，所采取的措施稱為安全限制。安全限制通常是定義一個有限的符號集 dom(Φ) ， dom(Φ) 一定包括出現在 Φ 以及中間結果和最後結果的關系中的所有符號 ( 實際上是各列中值的匯集 ) 。 dom(Φ) 不必是最小集。
當滿足下列條件時，元組演算表達式 {t|Φ(t)} 是安全的：
（ 1 ）如果 t 使 Φ(t) 為真，則 t 的每個分量是 dom(Φ) 中的元素。
（ 2 ）對於 Φ 中每一個形如 ( ? t)(W(u)) 的子表達式，若 u 使 W(u) 為真，則 u 的每個分量是 dom(Φ) 中的元素。
（ 3 ）對於 Φ 中每一個形如 ( ? t)(W(u)) 的子表達式，若 u 使 W(u) 為假，則 u 的每個分量必屬於 dom(Φ) 。換言之，若 u 某一分量不屬於 dom(Φ) ，則 W(u) 為真。
例 4 設有關系 R 如圖 2.8(a) ， S={t| ﹁ R(t)} ，若不進行安全限制，則可能是一個無限關系。所以定義
dom(Φ)= π A (R) ∪ π B (R) ∪ π C (R)
={{a1,a2},{b1,b2},{c1,c2}}
則 S 是 dom(Φ) 中各域值中元素的笛卡兒積與 R 的差集。結果如圖 2.8(b) 。註意，在做笛卡兒積時各個域中的元素不能搞混。
附：其他類型舉例：
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1 、下列等式中恒等的是：
① π A1,A2 ( σ F (E))≡ σ F ( π A1,A2 (E))
② σ F (E 1 × E 2 )≡ σ F (E 1 ) ×σ F (E 2 )
③ σ F (E 1 -E 2 )≡ σ F (E 1 )- σ F (E 2 )
④ π A1,A2,B1,B2 (E
E)≡ π A1,A2 (E) π B1,B2 (E)
① 當 F 包含 A1,A2 以外的限制 時 ，不恒等
② 當 F 包含大於 E1( 或 E2) 個數 的限制 時 ，不恒等
③ 恒等
④ 等式不可能成立，右 邊沒 有相同 屬 性
2 、以下元 組 的意 義 ：
{t|( ? u)((R(u) ∨ S(u)) ∧ ( ? v)(T(v)→( ? w)((R(w) ∨ S(w)) ∧ w[1]=u[1] ∧ w[2]=v[1] ∧ w[3]=v[2])) ∧ t[1]=u[1]}
據 說 是表示 R ∪ S ÷ T 的意思，但是我 實 在是看不 懂 。
3 、以下元 組 表 達 式 轉換為關 系代 數 表 達 式
{t| ? u ? v(R(u) ∧ S(v) ∧ u[3]=v[1] ∧ u[4]=v[2] ∧ u[1]>v[3] ∧ t[1]=u[2])}
其中 R(A,B,C,D) S(C,D,E)
關 系代 數 表 達 式 為 ： π B ( σ A>E (RS))
4 、把下列 關 系代 數 表 達 式 轉換為 元 組 表 達 式
π 1,4 (RS)
其中 R(A,B,C) S(B,D)
元 組 演算表 達 式 為 ： {t| ? u ? v(R(u) ∧ S(v) ∧ u[2]=v[1] ∧ t[1]=u[1] ∧ t[2]=v[2])}
5 、 關 系代 數 表 達 式 → 元 組 演算表 達 式
π 1,5,6 ( σ 1>5 (R×S)) -- 註意中 間 是乘法不是自然 連 接
其中 R(A,B,C) S(A,B,C)
{t| ? u ? v(R(u) ∧ S(v) ∧ u[1]>v[2] ∧ t[1]=u[1] ∧ t[2]=v[2] ∧ t[3]=v[3])}
6 、下列 查詢 效率最高的一 組 是：
① E1= π A,D ( σ B<‘2007‘ ∧ R.C=S.C ∧ E=‘80‘ (R × S))
② E2= π A,D ( σ R.C=S.C ( σ B<‘2007‘ (R) ×σ E=‘80‘ (S)))
③ E3= π A,D ( σ B<‘2007‘ (R) σ E=‘80‘ (S))
④ E4= π A,D ( σ B<‘2007‘ ∧ E=‘80‘ (RS))
答案是 ③ ，很明 顯 自然 連 接要 優 於笛卡爾 積 ，先 運 算再投影 優 於 先投影再 計 算
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