求遞增數列中所有A[i]=i的元素

閱讀更多部落格，請訪問博主的個人網站 點選訪問網站

題意描述

給定一個排好升序的陣列A[1]、A[2]、……、A[n]，其元素兩兩不相等。請設計一高效的演算法找出中間所有A[i] = i的下標。並分析其複雜度。

思路分析

該題目有兩個重要的條件:
1. 排好升序的陣列
2. 元素兩兩不相等

我們根據以上兩個已知條件可以得出以下定理：

定理1：在遞增序列中A中，對於A的所有元素A[i]，如果滿足A[i] = i, 則他們組成一個連續的序列。

對於定理1這裡不作證明，只給出兩個例子來闡述定理的意義。
1. 已知A中滿足條件的元素只有A[i],A[j],A[k]三個，且i < j < k,那麼我們根據定理1就可以斷言：i + 1 = j 且 j + 1 = k。
2. 已知A中有元素A[i] = i, A[i + 1] = i + 1，但是A[i + 2] ≠ i + 2，那麼A[i + 2]後面的元素也不會再有滿足條件的元素了。同理，若A[i - 1] ≠i - 1，那麼可以推出A[i - 1]前面也不會再有滿足條件的元素了。

演算法設計

由定理1知，所有滿足條件的元素挨在一塊組成一個連續數列。我們的演算法就是找出這個數列的左邊界和右邊界。
1. 二分查詢左邊界，即滿足 A[i] = i 且 A[i - 1] < i - 1的位置。
2. 二分查詢右邊界，即滿足A[i] = i 且A[i + 1] > i + 1。
3. 左邊界到右邊界之間的即為滿足條件的元素。

程式碼實現（python）

class Solution:
    def getLeftBound(self, a):
        low = 0
        high = len(a) - 1

        while
 
 low <= high:
            mid = (low + high) / 2
            if a[mid] == mid and (mid == 0 or a[mid - 1] != mid - 1):
                return mid
            elif a[mid] < mid:
                low = mid + 1
            elif a[mid] > mid:
                high = mid - 1
            else:
                high = mid - 1
 

        return -1

    def getRightBound(self, a):
        low = 0
        high = len(a) - 1

        while low <= high:
            mid = (low + high) / 2
            if a[mid] == mid and (mid == len(a) - 1 or a[mid + 1] != mid + 1):
                return mid
            elif a[mid] < mid:
                low = mid + 1
            elif a[mid] > mid:
                high = mid - 1
            else:
                low = mid + 1
        return -1
    def getAns(self, a):
        l = self.getLeftBound(a)
        r = self.getRightBound(a)
        return a[l : r + 1]
s = Solution()
a = [-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 9]

print s.getAns(a)

複雜度分析（時間）

• 程式碼中getLeftBound()和getRightBound()都是二分查詢的過程，複雜度為O(logn)
• 最後返回滿足條件的元素 的操作，複雜度為O(n)