題面

概率生成函數

對於菜雞博主來說好難啊

其一般形式為$F(x)=\sum\limits_{i=0}^∞[x==i]x_i$，第i項的系數表示離散變量x取值為i的概率

一般的兩個性質：$F(1)=1,E(x)=F‘(1)$

這裏用$F(x)$表示結束時的串長的概率生成函數，$G(x)$表示到長度到達...而串未結束的概率生成函數，字符串長為len，那麽有：

①$F(x)+G(x)=x*G(x)+1$，含義是長度達到x的概率：左邊就是字面意思，右邊$x*G(x)$表示x-1時未結束的概率，然後加上放的一次

②$\frac{1}{m}^len*G(x)=\sum\limits_{i=1}^{len} isb[i]*\frac{1}{m}^{len-i}*F(x)$，其中$isb_i$表示i是否是一個border，整個式子含義是字符串的結束：左邊就是在一個沒結束的串左邊恰好補上所需要的len個字母，右邊表示可能正好補了一個border，然後就也結束了

然後開始倒騰這兩個式子，我們的目標是搗騰出$F‘(1)$，也就是$E(x)$，而直接對①求導就可以得到$F‘(x)$與$G(x)$的關系：

$F‘(x)-G‘(x)=G‘(x)*x+G(x)$

$F‘(1)=G(1)$

然後直接把$F(1)=1$扔進第二個式子裏

$G(1)=\sum\limits_{i=0}^n isb_i m^i$

就是這樣

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const
 
 int N=100005,mod=10000;
 6 int T,p,n,pos,ans,num[N],nxt[N],pw[N];
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d",&p),pw[0]=1;
10     for(int i=1;i<=100000;i++)
11         pw[i]=pw[i-1]*p%mod;
12     scanf("%d",&T);
13     while(T--)
14     {
15         scanf("%d",&n);
16         for(int i=0;i<n;i++) 
 
17             scanf("%d",&num[i]);
18         for(int i=1,o=0;i<n;i++)
19         {
20             while(o&&num[o]!=num[i]) o=nxt[o];
21             nxt[i+1]=(num[o]==num[i])?++o:0;
22         }
23         pos=n,ans=0;
24         while(pos) ans=(ans+pw[pos])%mod,pos=nxt[pos];
25         printf("%04d\n",ans);
26     }
27     return 0;
28 }

解題：CTSC 2006 歌唱王國