找出無序陣列中最小的k個數（top k問題）
阿新 • • 發佈：2019-04-22
給定一個無序的整型陣列arr，找到其中最小的k個數
該題是網際網路面試中十分高頻的一道題，如果用普通的排序演算法，排序之後自然可以得到最小的k個數，但時間複雜度高達O(NlogN)，且普通的排序演算法均屬於內部排序，需要一次性將全部資料裝入記憶體，對於求解海量資料的top k問題是無能為力的。
針對海量資料的top k問題，這裡實現了一種時間複雜度為O(Nlogk)的有效演算法：初始時一次性從檔案中讀取k個數據，並建立一個有k個數的最大堆，代表目前選出的最小的k個數。然後從檔案中一個一個的讀取剩餘資料，如果讀取的資料比堆頂元素小，則把堆頂元素替換成當前的數，然後從堆頂向下重新進行堆調整；否則不進行任何操作，繼續讀取下一個資料。直到檔案中的所有資料讀取完畢，堆中的k個數就是海量資料中最小的k個數（如果是找最大的k個數，則使用最小堆）。具體過程請參看如下程式碼：
public class FindKMinNums { /** * 維護一個有k個數的最大堆，代表目前選出的最小的k個數 * * @param read 實際場景中，read提供的資料需要從檔案中讀取，這裡為了方便用陣列表示 * @param k * @return */ public static int[] getKMinsByHeap(int[] read, int k) { if (k < 1 || k > read.length) { return read; } int[] kHeap = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { // 初始時一次性從檔案中讀取k個數據 kHeap[i] = read[i]; } buildHeap(kHeap, k); // 建堆，時間複雜度O(k) for (int i = k; i < read.length; i++) { // 從檔案中一個一個的讀取剩餘資料 if (read[i] < kHeap[0]) { kHeap[0] = read[i]; heapify(kHeap, 0, k); // 從堆頂開始向下進行調整，時間複雜度O(logk) } } return kHeap; } /** * 建堆函式 * * @param arr * @param n */ public static void buildHeap(int[] arr, int n) { for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) { heapify(arr, i, n); } } /** * 從arr[i]向下進行堆調整 * * @param arr * @param i * @param heapSize */ public static void heapify(int[] arr, int i, int heapSize) { int leftChild = 2 * i + 1; int rightChild = 2 * i + 2; int max = i; if (leftChild < heapSize && arr[leftChild] > arr[max]) { max = leftChild; } if (rightChild < heapSize && arr[rightChild] > arr[max]) { max = rightChild; } if (max != i) { swap(arr, i, max); heapify(arr, max, heapSize); // 堆結構發生了變化，繼續向下進行堆調整 } } public static void swap(int[] arr, int i, int j) { int tmp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = tmp; } public static void printArray(int[] arr) { for (int i = 0; i <= arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } System.out.println(); } public static void main(String[] args) { int[] arr = {6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9}; // sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 } printArray(getKMinsByHeap(arr, 10)); } }
對於從海量資料(N)中找出TOP K，這種演算法僅需一次性將k個數裝入記憶體，其餘資料從檔案一個一個讀即可，所以它是針對海量資料TOP K問題最為有效的演算法
對於非海量資料的情況，還有一種時間複雜度僅為O(N)的經典演算法 —— BFPRT演算法，該演算法於1973年由Blum、Floyd、Pratt、Rivest和Tarjan聯合發明，其中蘊含的深刻思想改變了世界。
BFPRT演算法解決了這樣一個問題：在時間複雜度O(N)內，從無序的陣列中找到第k小的數。顯而易見的是，如果我們找到了第k小的數，那麼想求arr中最小的k個數，只需再遍歷一遍陣列，把小於第k小的數都蒐集起來，再把不足部分用第k小的數補全即可。
BFPRT演算法是如何找到第k小的數？以下是BFPRT演算法的過程，假設BFPRT演算法的函式是int select(int[] arr, int k)，該函式的功能為在arr中找到第k小的數，然後返回該數。select(arr, k)的過程如下：
-
將arr中的n個元素劃分成 n/5 組，每組5個元素，如果最後的組不夠5個元素，那麼最後剩下的元素為一組（n%5 個元素）。時間複雜度O(1)
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對每個組進行排序，比如選擇簡單的插入排序，只針對每個組最多5個元素之間的組內排序，組與組之間不排序。時間複雜度 N/5O(1)
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找到每個組的中位數，如果元素個數為偶數可以找下中位數，讓這些中位陣列成一個新的陣列，記為mArr。時間複雜度O(N/5)
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遞迴呼叫
select(mArr, mArr.length / 2)，意義是找到mArr這個陣列的中位數x，即中位數的中位數。時間複雜度T(N/2) -
根據上面得到的x劃分整個arr陣列（partition過程），劃分的過程為：在arr中，比x小的都在x左邊，比x大的都在x右邊，x在中間。時間複雜度O(N)
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假設劃分完成後，x在arr中的位置記為i，關於i與k的相對大小，有如下三種情況：
- 如果 i = k，說明x為整個陣列中第k小的數，直接返回。時間複雜度O(1)
- 如果 i < k，說明x處在第k小的數左邊，應該在x的右邊繼續尋找，所以遞迴呼叫select函式，在右半區尋找第k-i小的數。時間複雜度不超過T(7/10N + 6)
- 如果 i > k，說明x處在第k小的數右邊，應該在x的左邊繼續尋找，所以遞迴呼叫select函式，在左半區尋找第k小的數。時間複雜度同樣不超過T(7/10N + 6)
上述過程的程式碼實現如下：
public class FindKMinNums {
/**
* 先用BFPRT演算法求出第k小的數，再遍歷一遍陣列才能求出最小的k個數，時間複雜度O(N)
* 需要將所有資料一次性裝入記憶體，適用於非海量資料的情況
*
* @param arr
* @param k
* @return
*/
public static int[] getKMins(int[] arr, int k) {
if (k < 1 || k > arr.length) {
return arr;
}
int kthMin = getKthMinByBFPRT(arr, k); // 使用BFPRT演算法求得第k小的數，O(N)
int[] kMins = new int[k]; // 下面遍歷一遍陣列，利用第k小的數找到最小的k個數，O(N)
int index = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] < kthMin) { // 小於第k小的數，必然屬於最小的k個數
kMins[index++] = arr[i];
}
}
while (index < k) {
kMins[index++] = kthMin; // 不足部分用第k小的數補全
}
return kMins;
}
/**
* 使用BFPRT演算法求第k小的數
*
* @param arr
* @param k
* @return
*/
public static int getKthMinByBFPRT(int[] arr, int k) {
int[] arrCopy = copyArray(arr); // 在得到第k小的數之後還要遍歷一遍原陣列，所以並不直接操作原陣列
return select(arrCopy, 0, arrCopy.length - 1, k - 1); // 第k小的數，即排好序後下標為k-1的數
}
/**
* 拷貝陣列
*
* @param arr
* @return
*/
public static int[] copyArray(int[] arr) {
int[] arrCopy = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arrCopy.length; i++) {
arrCopy[i] = arr[i];
}
return arrCopy;
}
/**
* 在陣列arr的下標範圍[begin, end]內，找到排序後位於整個arr陣列下標為index的數
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @param index
* @return
*/
public static int select(int[] arr, int begin, int end, int index) {
if (begin == end) {
return arr[begin];
}
int pivot = medianOfMedians(arr, begin, end); // 核心操作：中位數的中位數作為基準
int[] pivotRange = partition(arr, begin, end, pivot); // 拿到分割槽後中區的範圍
if (index >= pivotRange[0] && index <= pivotRange[1]) { // 命中
return arr[index];
} else if (index < pivotRange[0]) {
return select(arr, begin, pivotRange[0] - 1, index);
} else {
return select(arr, pivotRange[1] + 1, end, index);
}
}
/**
* 選基準
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @return
*/
public static int medianOfMedians(int[] arr, int begin, int end) {
int num = end - begin + 1;
int offset = num % 5 == 0 ? 0 : 1; // 5個成一組，不滿5個的自己成一組
int[] mArr = new int[num / 5 + offset]; // 每組的中位數取出構成中位數陣列mArr
for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
int beginI = begin + i * 5;
int endI = beginI + 4;
mArr[i] = getMedian(arr, beginI, Math.min(endI, end));
}
// 求中位數陣列mArr的中位數，作為基準返回
return select(mArr, 0, mArr.length - 1, mArr.length / 2);
}
/**
* 在陣列arr的下標範圍[begin, end]內，找中位數，如果元素個數為偶數則找下中位數
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @return
*/
public static int getMedian(int[] arr, int begin, int end) {
insertionSort(arr, begin, end);
int sum = begin + end;
int mid = (sum / 2) + (sum % 2);
return arr[mid];
}
/**
* 這裡僅用於對一組5個數進行插入排序，時間複雜度O(1)
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
*/
public static void insertionSort(int[] arr, int begin, int end) {
for (int i = begin + 1; i <= end; i++) {
int get = arr[i];
int j = i - 1;
while (j >= begin && arr[j] > get) {
arr[j + 1] = arr[j];
j--;
}
arr[j + 1] = get;
}
}
/**
* 優化後的快排partition操作
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @param pivot
* @return 返回劃分後等於基準的元素下標範圍
*/
public static int[] partition(int[] arr, int begin, int end, int pivot) {
int small = begin - 1; // 小區最後一個元素下標
int big = end + 1; // 大區第一個元素下標
int cur = begin;
while (cur < big) {
if (arr[cur] < pivot) {
swap(arr, ++small, cur++);
} else if (arr[cur] > pivot) {
swap(arr, --big, cur);
} else {
cur++;
}
}
int[] range = new int[2];
range[0] = small + 1; // 中區第一個元素下標
range[1] = big - 1; // 中區最後一個元素下標
return range;
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
public static void printArray(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9};
// sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 }
printArray(getKMins(arr, 10));
}
}
關於BFPRT演算法為什麼在時間複雜度上可以做到穩定的O(N)，可以參考《程式設計師程式碼面試指南》P339或《演算法導論》9.3節內容，這裡