前言

在考場被這個題搞自閉了，那個時候自己是真的太菜了。qwq
現在水平稍微高了一點，就過來切一下這一道\(DP\)經典好題。
附加一個題目鏈接：【洛谷】

正文

雖然題目非常的簡短，但是解法有很多。
我按照時間復雜度來寫一下一些做法。
博主只考慮了一些基於時間的做法，其他的再補。。

時間復雜度：\(O(t^2n)\)

借鑒sooke大佬的想法，把問題抽象成一個數軸。
每一個人上車的時間就是在數軸上可能重合的一個點，一輛公交車抽象成在數軸上的一條長度為m的線段進行一次覆蓋。
因為考慮到上下車時間忽略不計，那麽就把這個線段看成一個左開右閉的線段。
那麽問題就變成了，所有人到覆蓋這個點的線段右端點的距離之和，我們的任務就是讓這個和最小。

時間復雜度：\(O(t^2)\)

考慮優化上述\(DP\)。
先把式子搬下來
\[f_i=min(f_j+\sum^{}_{j<tk\leq i}i-t_k)\]
由\(\sum\)可以發現可以用前綴和優化。
那麽我們就試著把這個\(\sum\)拆成前綴和的形式。
\[\sum^{}_{j<tk\leq i}i-t_k=\sum^{}_{j<tk\leq i}i-\sum^{}_{j<tk\leq i}t_k=(psum_i-psum_j)\times i-(tsum_i-tsum_j)\]
其中的\(psum\)表示的是在區間內符合的個數，\(tsum\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IOstream {
    #define gc getchar
    template <typename T>
    inline void read(T &x) {
        x = 0; T fl = 1; char c = 0;
        for (; c < '0' || c > '9'; c = gc()) if (c == '-') fl = -1;
        for (; c >= '0' && c <= '9'; c = gc()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
        x *= fl;
    }
    #undef gc
} using namespace IOstream;
const int N = 4e6 + 506;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int psum[N], tsum[N], f[N];
int n, m, t;
int main() {
    read(n); read(m);
    if (m == 1) { puts("0"); return 0; }
    for (int i = 1, x; i <= n; i ++) {
        read(x); t = max(x, t);
        psum[x] ++; tsum[x] += x;
    }
    for (int i = 0; i < t + m; i ++) {
        tsum[i] += tsum[i - 1]; 
        psum[i] += psum[i - 1];
    }
    memset(f, inf, sizeof(f));
    for (int i = 0; i < t + m; i ++) {
        f[i] = psum[i] * i - tsum[i];
        for (int j = 0; j + m <= i; j ++) {
            f[i] = min(f[i], f[j] + (psum[i] - psum[j]) * i - (tsum[i] - tsum[j]));
        }
    }
    int ans = inf;
    for (int i = t; i < t + m; i ++) ans = min(ans, f[i]);
    cout << ans << endl; 
    return 0;
}

時間復雜度：\(O(t)\)

再是這個式子
\[f_i=min(f_j+\sum^{}_{j<tk\leq i}i-t_k)\]
可以發現這個東西和斜率優化的基本套路是一樣的。
那麽稍微推導一下
將前綴和的式子拿出來\(f_i=f_j+(psum_i-psum_j)\times i-(tsum_i-tsum_j)\)
把和\(i\)有關的項都放到一邊，把其他的\(j\)和\(k\)的項放到另外一邊。
最終可以化簡為
\[\underline{f_j+tsum_j}_y=\underline{i}_k\times \underline{psum_i}_x+\underline{(f_i+psum_j\times i-tsum_i)}_b\]

對應下面這個東西
\[y=kx+b\]

開始斜率優化。
可以發現斜率\(i\)遞增，然後維護下凸包。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IOstream {
    #define gc getchar
    template <typename T>
    inline void read(T &x) {
        x = 0; T fl = 1; char c = 0;
        for (; c < '0' || c > '9'; c = gc()) if (c == '-') fl = -1;
        for (; c >= '0' && c <= '9'; c = gc()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
        x *= fl;
    }
    #undef gc
} using namespace IOstream;
typedef double db;
const int N = 4e6 + 506;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int psum[N], tsum[N], f[N], q[N << 1]; 
// psum記錄的是人數前綴和，tsum表示總時間的前綴和
int n, m, T;
db Y(int i) { return 1.0 * (- f[i] - tsum[i]); }
db X(int i) { return 1.0 * (- psum[i]); }
db slope(int i, int j) { return (Y(i) - Y(j)) / (psum[i] == psum[j] ? 1e-9 : (X(i) - X(j))); }
int main() {
    read(n); read(m);
    if (m == 1) { puts("0"); return 0; }
    for (int i = 1, x; i <= n; i ++) {
        read(x); T = max(x, T);
        psum[x] ++; tsum[x] += x;
    }
    for (int i = 0; i < T + m; i ++) {
        tsum[i] += tsum[i - 1]; 
        psum[i] += psum[i - 1];
    }
    int h = 1, t = 0; 
    for (int i = 0; i < T + m; i ++) {
        if (i >= m) {
            while (h < t && slope(q[t - 1], q[t]) >= slope(q[t], i - m)) t --;
            q[++ t] = i - m; 
        }
        while (h < t && slope(q[h], q[h + 1]) <= i) h ++; 
        f[i] = psum[i] * i - tsum[i];
        int j = q[h];
        if (h <= t) f[i] = min(f[i], f[j] + (psum[i] - psum[j]) * i - (tsum[i] - tsum[j])); 
    }
    int ans = inf;
    for (int i = T; i < T + m; i ++) ans = min(ans, f[i]);
    cout << ans << endl; 
    return 0;
}

「洛谷5017」「NOIP2018」擺渡車【DP，經典好題】