本文介紹了歸併排序的基本思想，遞迴方法的一般寫法，最後一步步手寫歸併排序，並對其效能進行了分析。

基本思想

歸併排序是建立在歸併操作上的一種有效的排序演算法,該演算法是採用分治法的一個非常典型的應用。即先使每個子序列有序，再將已有序的子序列合併，得到完全有序的序列。這裡給出一種遞迴形式的歸併排序實現。

遞迴方法的一般寫法

遞迴方法的書寫主要有三步：

1. 明確遞迴方法的功能邊界；
2. 得到遞迴的遞推關係；
3. 給定遞迴的終止條件。

遞迴方法均可按照這三步進行，切忌不要陷入遞迴實現的細節中。下面以歸併排序演算法的書寫為例，來談一下遞迴方法的具體寫法。

手寫歸併排序

首先，明確遞迴方法的功能，這裡我們定義方法的功能為，給定一個數組及左右邊界，方法完成陣列邊界內元素的排序，如下：

private static void mergeSort(int[] arr,int left,int right)；

先假設我們已經有了這麼一個方法，不用管具體的實現。
接著，尋找遞推關係，什麼是遞推關係呢？就是如何由子問題的求解，來得到原問題的求解，還是舉例說明，有如下的陣列

我們將其拆分為左右兩部分，如下

遞推關係就是，假如左右兩部分都已經有序了，如何使整個陣列有序？這個問題其實就是給定了一個數組，陣列的左半部分有序，右半部分也有序，如何使整個陣列有序？
首先，定義兩個指標，分別指向左側部分起始位置和右側部分起始位置，同時建立一個輔助陣列和指向其初始位置的輔助指標

接著比較，左指標和右指標所對應的元素的大小，較小的元素填充至輔助陣列，同時其對應的指標和輔助指標均加1，如下：

依次進行，直至某左指標指向中間位置或者右指標指向陣列的末尾，此時要將將剩餘的元素填充至輔助陣列。所有的元素填充完成後，再將輔助陣列中的元素填充回原陣列即可。具體的程式碼如下：

/**
     *
     * @param arr 要合併的陣列
     * @param left 左邊界
     * @param mid 中間的分界
     * @param right 右邊界
     */
    private static void merge(int[] arr,int left,int mid,int right){
        int[] helpArr = new int[right - left + 1];//首先定義一個輔助陣列
        int lPoint = left;//左指標
        int rPoint = mid  + 1;//右指標
        int i = 0;//輔助指標
        while(lPoint <= mid && rPoint <= right){//比較並填充輔助陣列
            if(arr[lPoint] <=  arr[rPoint])
                helpArr[i++] =  arr[lPoint++];
            else
                helpArr[i++] =  arr[rPoint++];
        }
        while(lPoint <= mid){//將剩餘元素填充至輔助陣列
            helpArr[i++] =  arr[lPoint++];
        }
        while(rPoint <= right){
            helpArr[i++] =  arr[rPoint++];
        }
        for(int j = 0;j < helpArr.length;j ++){//將輔助陣列中的元素回填至原陣列
            arr[left + j] = helpArr[j];
        }
    }
 

最後，確定終止條件，一般是陣列為空或者陣列中只有一個元素，返回即可。
現在我們可以寫出整個歸併排序的程式碼了，如下：

private static void mergeSort(int[] arr,int left,int right){
        if(arr == null || right == left)//終止條件
            return ;
        int mid = left + (right - left) / 2;//確定分割的邊界
        mergeSort(arr,left,mid);//對左半部分呼叫遞迴方法，使其有序
        mergeSort(arr,mid + 1,right);//對右半部分呼叫遞迴方法，使其有序
        merge(arr,left,mid,right);//合併左右兩部分，使整個陣列有序
    }

為了保證形式的統一，再對函式進行一下封裝，如下，這就是我們的歸併排序了。

    /**
     * 歸併排序演算法
     * @param arr
     */
    public static void mergeSort(int[] arr){
        mergeSort(arr,0,arr.length - 1);//呼叫寫好的遞迴版歸併排序方法
    }

至此，我們便完成了歸併排序演算法的程式碼實現。

效能分析

在分析歸併排序演算法效能之前，先介紹幾個基礎的概念。
時間複雜度：一個演算法執行所消耗的時間；
空間複雜度：執行完一個演算法所需的記憶體大小；
原地排序：在排序過程中不申請多餘的儲存空間，只利用原來儲存待排資料的儲存空間進行比較和交換的資料排序。
非原地排序：需要利用額外的陣列來輔助排序。
穩定排序：如果 a 原本在 b 的前面，且 a == b，排序之後 a 仍然在 b 的前面，則為穩定排序。
非穩定排序：如果 a 原本在 b 的前面，且 a == b，排序之後 a 可能不在 b 的前面，則為非穩定排序。
下面我們分析下歸併排序演算法的效能。
首先是時間複雜度。歸併排序演算法在排序時首先將問題進行分解，然後解決子問題，再合併，所以總時間=分解時間+解決子問題時間+合併時間。分解時間就是把一個數組分解為左右兩部分，時間為一常數，即O(1)；解決子問題時間是兩個遞迴方法，把一個規模為n的問題分成兩個規模分別為n/2的子問題，時間為2T(n/2)；合併時間複雜度為O(n)。所以總時間T(n)=2T(n/2)+O(n)。這個遞迴問題的時間複雜度可以用下面的公式來計算

這個公式可針對形如：T(n) = aT(n/b) + f(n)的遞迴方程進行時間複雜度求解。帶入可知，歸併排序的時間複雜度為O(nlogn)。此外在最壞、最佳、平均情況下歸併排序時間複雜度均為O(nlogn)。
空間複雜度分析：在排序過程中使用了一個與原陣列等長的輔助陣列，估空間複雜度為O(n)。
穩定性分析：由排序過程可以知道，歸併排序是一種穩定排序。
是否原地排序：排序過程中用到了輔助陣列，所以是非原地排序。
本文原始碼已同步至github，地址：https://github.com/zhanglianchao/AllForJava/tree/master/src/algorithm/sort

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