二分搜尋樹是為了快速查詢而生，它是一顆二叉樹，每一個節點只有一個元素（值或鍵值對），左子樹所有節點的值均小於父節點的值，右子樹所有的值均大於父節點的值，左右子樹也是一顆二分搜尋樹，而且沒有鍵值相等的節點。它的查詢、插入和刪除的時間複雜度都與樹高成比例，期望值是O(log n)。

但是插入陣列如[]，二分搜尋樹的缺點就暴露出來了，二分搜尋樹退化成線性表，查詢的時間複雜度達到最壞時間複雜度O(n)。

動畫：二分搜尋樹退化成線性表

那有沒有插入和刪除操作都能保持樹的完美平衡性（任何一個節點到其葉子節點的路徑長度都是相等的）？

有，B樹。B樹是一種自平衡的樹，根節點到其葉子節點的路徑高度都是一樣的，能夠保持資料有序（通過中序遍歷能得到有序資料）。B樹一個節點可以擁有2個以上的子樹，如2-3樹、2-3-4樹甚至2-3-4-5-6-7-8樹，它們滿足二分搜尋樹的性質，但它們不屬於二叉樹，也不屬於二分搜尋樹。

2-3-4樹的完美平衡，每條從根節點到葉子節點的路徑的高度都是一樣的

2-3-4樹有以下節點組成：

2-節點，含有一個元素（值或鍵值對）和兩個子樹（左右子樹），左子樹所有的值均小於父節點的值，右子樹所有的值均大於父節點的值；

3-節點，含有兩個元素和三個子樹，左子樹所有的值均小於父節點最小元素的值，中間子樹所有的值均位於父節點兩個元素之間，右子樹所有的值均大於父節點最大元素的值；

4-節點，含有三個元素和四個子樹，節點之間的比較也滿足二分搜尋樹的性質。

2-3-4樹查詢演算法

2-3-4樹的查詢類似二分搜尋樹的查詢。

2-3-4樹插入演算法

2-3-4樹的插入演算法是消除當前節點是4-節點，將4-節點分解成多個2-節點，中間的2-節點與父節點合併成3-節點或4-節點。

沿著連結向下進行變換分解4-節點分為兩種情況：

1）4-節點作為根節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點作為根節點；

2）當前節點為4-節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合併成3-節點或4-節點；

圖：沿著連結向下進行變換，分解4-節點

在沿著左右連結向下進行變換的同時，也會進行命中查詢。如果元素是鍵值對的話，查詢命中將舊的值賦值為新的值；如果元素是一個值的話，查詢命中將忽略之，因為二分搜尋樹需要滿足沒有相等的元素；如果需要支援重複的元素，則在元素物件新增count屬性，預設為1。

如果查詢未命中，則將待插入元素插入在葉子節點上。樹底下插入一個元素只有兩種情況：向2-節點中插入和向3-節點中插入。

圖：樹底下插入一個元素

2-3-4樹刪除演算法

2-3-4樹的刪除演算法是消除當前節點是2-節點，向兄弟節點或父節點借一個元素過來。

刪除最小元素

從根節點的左孩子開始，沿著左連結向下進行變換可以分為三種情況：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點最小元素和兄弟節點合併為4-節點，當前節點變換成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最小元素移到父節點，父節點的最小元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。

圖：沿著左連結向下進行變換

刪除最大元素

從根節點的右孩子開始，沿著右連結向下進行變換也同樣分為三種情況：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點的最大元素和兄弟節點合併為4-節點，當前節點變換成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最大元素移到父節點，父節點的最大元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。

圖：沿著右連結向下進行變換

刪除任意元素

學習過刪除最小元素和刪除最大元素演算法之後，刪除任意元素的演算法自然就簡單了。刪除任意元素演算法需要先進行命中查詢，若查詢命中，則將右子樹的最小值替換掉待刪除元素，然後將右子樹進行刪除最小元素的演算法。

2-3-4樹雖滿足二分搜尋樹的性質，但不是一顆二分搜尋樹。如果期望它是一顆二分搜尋樹，就需要將3-節點和4-節點替換為多個2-節點，還需要註明元素之間的關係（用紅連結表示）。

替換3-節點和4-節點

圖：替換3-節點

圖：替換4-節點

但是存在一個問題，2-3-4樹因為3-節點的不同表示會有很多種不同的紅黑樹，3-節點既可以左傾，也可以右傾。所以為了保證樹的唯一性，3-節點只考慮左傾，當然你也可以只考慮右傾。

這樣對於任何一顆2-3-4樹，只考慮左傾的情況下，都能得到唯一的一顆對應的紅黑樹，這種樹也叫左傾紅黑樹，相對比較減少了複雜性，設計更容易被實現。

紅黑樹查詢演算法

紅黑樹的查詢演算法和二分搜尋樹一樣。

關於連結的顏色變換隻跟顏色轉換有關，而旋轉不會改變連結的顏色變換，只在被紅連結指向的節點變成紅色，被黑連結指向的節點變成黑色。

旋轉

旋轉是將不滿足紅黑樹性質的3-節點和4-節點進行旋轉，如果3-節點出現右連結，則將右連結通過左旋轉變成左連結；如果4-節點出現一個紅節點連著兩條紅連結，則將4-節點配平。

左旋轉

圖：左旋轉

右旋轉

圖：右旋轉

圖：3-節點和4-節點的旋轉

Code：右旋轉和左旋轉

顏色轉換

顏色轉換隻應用於4-節點。

圖：顏色轉換

Code：顏色轉換

紅黑樹插入演算法

回顧之前的2-3-4樹的插入演算法，它有兩個過程：沿著連結向下進行分解4-節點和樹底下插入一個元素。

紅黑樹的插入演算法和2-3-4樹的插入演算法類似，它不僅包含前面兩個過程，還增加了向上進行變換的過程，此過程是將3-節點左傾和4-節點配平。

紅黑樹插入演算法會先從根節點開始，沿著左右連結向下進行變換，目的是為了分解4-節點。如果該節點的左右孩子都是紅節點，則通過flipColors方法進行顏色轉換，接著進行下一個子節點；如果不是，則直接進行下一個子節點。

到達樹底的時候，則意味著可以開始插入新的元素。

如果紅黑樹目前是一顆空樹，插入紅色的元素作為第一個節點，然後該節點變成黑色。如果不是一顆空樹，插入元素分為三種情況：向2-節點插入新元素、向3-節點插入新元素和向4-節點插入新元素。

向2-節點插入新元素

向2-節點插入新元素很簡單，如果新元素的值小於父節點，直接插入紅色的節點即可；如果新元素的值大於父節點，則產生一個紅色右連結，插完之後則將3-節點進行左旋轉，將右連結變成左連結，被紅連結指向的節點變成紅色，被黑連結指向的節點變成黑色。

圖：向2-節點插入新元素

向3-節點插入新元素

因為前面的3-節點進行過旋轉，此時的3-節點肯定滿足左傾紅黑樹的性質。向3-節點插入新元素分為三種情況：

1）新元素的值位於3-節點中的兩元素之間；

2）新元素的值小於3-節點中的最小元素；

3）新元素的值大於3-節點中的最大元素。

圖：向3-節點插入新元素

##### 向4-節點插入新元素

向4-節點插入新元素之前需要先進行顏色轉換，才可以進行插入新的元素。

圖：向4-節點插入新元素

插完新元素之後需要滿足紅黑樹的性質，則在沿著父節點的連結向上進行變換，具體做法和向3-節點插入新元素的做法類似，通過左旋轉將3-節點左傾和左右旋轉將4-節點配平，沒有顏色轉換。

動畫：2-3-4樹與紅黑樹的插入

Code：紅黑樹插入演算法

紅黑樹刪除演算法

紅黑樹刪除演算法也需要進行旋轉和顏色轉換操作，在插入演算法中為了待插入元素所在的節點不是4-節點，所以在沿著左右連結向下進行變換時將4-節點分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合併；而在刪除演算法中為了待刪除元素所在的節點不是2-節點，所以在沿著左右連結向下進行變換時將2-節點向其它不是2-節點的節點（兄弟節點或父節點）借一個元素過來，合併成3-節點。

所以，只要是2-節點的節點，如果兄弟節點不是2-節點，就將兄弟節點的與父節點鄰近的元素移到父節點，而父節點將與當前節點鄰近的元素移到當前節點；如果兄弟節點是2-節點，則將父節點的與當前節點鄰近的元素移到當前節點。（是不是很繞？待會在後面刪除最值演算法中詳細給出）

然後刪除完一個元素之後需要進行修復調整，將這個樹滿足紅黑樹的性質。如果右連結是紅色，將右連結通過左旋轉變成左連結；如果有連續的左連結，通過右旋轉配平，然後進行顏色轉換。

Code：向上變換（修復調整）

刪除最小元素

刪除最小元素演算法和二分搜尋樹一樣，一直遞迴它的左孩子，直到它的左孩子為空才進行刪除這個最小元素。但是紅黑樹在遞迴的同時如何旋轉和顏色轉換是個問題。

刪除最小元素演算法一直沿著左連結向下進行轉換，對照2-3-4樹，我們可以給出三種情況，從根節點開始：

1）當前節點（父節點位置）的左子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（左子節點）；

2）當前節點的左子節點和右子節點都是2-節點，則將左子節點、當前節點的最小元素和右子節點合併成4-節點，然後進行下一個節點；

3）當前節點的左子節點是2-節點，右子節點不是2-節點，則將右子節點的最小元素移到當前節點的位置，當前節點的最小元素移到左子節點，然後進行下一個節點。

圖：沿著左連結向下進行轉換

Code：沿著左連結向下變換

直到某元素左孩子為空的時候，此時的元素是這個樹的最小元素。因為通過前面的轉換，最小元素肯定被一個紅連結指向，刪除這個元素之後通過balance方法修復調整為紅黑樹。

Code：刪除最小元素演算法

刪除最大元素

刪除最大元素演算法和刪除最小元素演算法類似的，也分為三種情況：

1）當前節點（父節點位置）的右子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（右子節點）；

2）當前節點的右子節點和左子節點都是2-節點，則將右子節點、當前節點的最大元素和左子節點合併成4-節點，然後進行下一個節點；

3）當前節點的右子節點是2-節點，左子節點不是2-節點，則將左子節點的最大元素移到當前節點的位置，當前節點的最大元素移到左子節點，然後進行下一個節點。

圖：沿著右連結向下進行變換

Code：沿著右連結向下變換

Code：刪除最大元素演算法

刪除任意元素

學習過前面的刪除最小元素演算法和刪除最大元素演算法，刪除任意元素會變得很簡單。刪除最小元素演算法會一直沿著左連結向下進行變換，刪除最大元素演算法會一直沿著右連結向下進行變換，而刪除任意元素演算法需要同時存在著左右連結向下進行變換。

刪除任意元素演算法需要先進行命中查詢，在命中查詢的過程中會進行沿著左右連結向下變換，如果查詢命中則將右子樹的最小元素替換掉待刪除元素，然後進行右子樹的刪除最小元素演算法；如果查詢未命中，則直接返回balance函式，向上將3-節點左傾或將4-節點配平。

Code：刪除任意元素演算法

動畫：2-3-4樹與紅黑樹的刪除

學習完上面的演算法之後，可以總結下紅黑樹的性質：

1）每個節點或是紅色的，或是黑色的；

2）根節點是黑色的；

3）每個葉子節點（NIL）是黑色的；

4）如果一個節點是紅色的，則它的兩個子節點都是黑色的（NIL節點也是黑色的）；

5）對每個結點，從該節點到其所有後代葉子節點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色節點（黑連結平衡）。

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