# <二分查詢+雙指標+字首和>解決子陣列和排序後的區間和 > 題目重現： > > **給你一個數組 nums ，它包含 n 個正整數。你需要計算所有非空連續子陣列的和，並將它們按升序排序，得到一個新的包含 n * (n + 1) / 2 個數字的陣列。** > > **請你返回在新陣列中下標為 left 到 right （下標從 1 開始）的所有數字和（包括左右端點）。由於答案可能很大，請你將它對 10^9 + 7 取模後返回。** > > 示例 1：輸入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 1, right = 5 > 輸出：13 > 解釋：所有的子陣列和為 1, 3, 6, 10, 2, 5, 9, 3, 7, 4 。將它們升序排序後，我們得到新的陣列 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10] 。下標從 le = 1 到 ri = 5 的和為 1 + 2 + 3 + 3 + 4 = 13 。 > > 示例 2：輸入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 3, right = 4 > 輸出：6 > 解釋：給定陣列與示例 1 一樣，所以新陣列為 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10] 。下標從 le = 3 到 ri = 4 的和為 3 + 3 = 6 。 > > 示例 3：輸入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 1, right = 10 > 輸出：50 > > > 提示： > > * 1 <= nums.length <= 10^3 > * nums.length == n > * 1 <= nums[i] <= 100 > * 1 <= left <= right <= n * (n + 1) / 2 > > 來源：力扣（LeetCode） > 連結：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-of-sorted-subarray-sums ​ 這是在leetcode上碰到的一道題，但由於設定的測試樣例並不是很好，而導致暴力解法也可通過，所以此題只是中等難度。但看過題解的解法思路後覺得有必要做一記錄。由淺入深，先通過暴力解法，然後引出優化的方法。 ## 暴力法 ​ 這道題給出一個數組nums，如果暴力解題，可以先計算出它的所有非空連續子陣列的和，然後進行排序，再計算它下標left到right的和，最後取餘數即可。 ​ 列舉出所有的非空連續子陣列，使用左右雙指標，假設題目給定nums為```1，2，3，4```，那麼先讓左指標指1，右指標從1開始依次滑動過整個陣列後面的數，即可得到以1開頭的子陣列和為```1，3，6，10```，再讓左指標右移一位，繼續按上述可得```2，5，9```......以此類推可得所有子陣列，然後對其進行排序。子陣列和的數目總共為```n*(n+1)/2```個。 ```java //暴力法 class Solution { public int rangeSum(int[] nums, int n, int left, int right) { int[] new_arr = new int[n*(n+1)/2+1]; //定義陣列存放所有子陣列 int index = 1; for (int i = 0; i < nums.length; i++) { int pre = 0; for (int j = i; j < nums.length; j++) { new_arr[index++] = pre+nums[j]; //dp思想，左指標固定後，右指標滑動後的下一個子陣列等於上次加nums[j]之和 pre = pre+nums[j]; //更新pre } } Arrays.sort(new_arr); //對子陣列進行排序 long count = 0; for (int i = left; i <= right; i++) { count+=new_arr[i]; } while (count >= 1000000007) { //取餘數後返回 count -= 1000000007; } return (int)count; } } ``` ## 前置討論 ​ 討論二分查詢+雙指標解法前，先看leetcode的另一道題[378. 有序矩陣中第K小的元素](https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix/)，這道題的解題思路有助於我們更好的解決上面的題目。 > 給定一個 n x n 矩陣，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩陣中第 k 小的元素。 > 請注意，它是排序後的第 k 小元素，而不是第 k 個不同的元素。 > > > > 示例： > > matrix = [ > [ 1, 5, 9], > [10, 11, 13], > [12, 13, 15] > ], > k = 8, > > 返回 13。 > > 來源：力扣（LeetCode） > 連結：https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix ​ 先觀察這個給定的陣列matrix發現：整個陣列的行從左到右遞增，從上到下遞增，剛開始我想的是用優先順序佇列，首先加入一個最小的數（最左上角），然後每次加入佇列頭的右邊的數和下邊的數，周而復始的迴圈k次，佇列頭就是這個數。但由於優先順序佇列的維護本身就是非常耗時的，所以整個程式執行下來時間效率很低，運行了42ms。下面給出優化思路： ​ 二分查詢的思路，以下圖為例：（圖片來自leetcode官方題解）  ​ 通過觀察發現mid = (1+16)/2 = 8，大於mid的都分佈在紅線下面，而不大於mid的部分分佈在紅線上面，所以可以使用二分查詢。  ​ 沿著圖中藍色箭頭走一邊，就可以計算出上方板塊的大小，即不大於mid的數字的數目，這樣通過二分將mid逐漸逼近第k小的元素。  ​ 演算法描述：目的是統計不大於當前mid的數的數目，從第0列最後一行開始，如果此列最下面的數都不大於mid，那麼此列所有的數肯定都不大於mid，繼續到下一列，將列指標向右移動，如果此時最後一行的數大於mid，則將指示行的指標上移直到遇到一個不大於mid的數就停止，而這個數上面的數肯定都不大於mid。如果行指標已經滑到0還沒有不大於mid的數出現，那說明後面已經不可能有不大於mid的數了，因為這個陣列向右和向下是遞增的。 ​ 當訪問第j列的時候，如果第i+1行大於mid，而第i行不大於mid，則這列不大於mid的數數目為i+1（考慮第0行）。統計整個陣列中不大於mid的數的數目。如果小於k，則說明mid太小，將left右移至mid+1處，否則將right移至mid處。直到左右指標相遇，此時它們所指向的就是第k小的數。 ```java private static int kthSmallest(int[][] matrix, int k) { int n = matrix.length; int left = matrix[0][0]; int right = matrix[n-1][n-1]; int mid; //二分查詢，找到第k小的數 while (left < right) { mid = left + ((right-left) >> 1); if (check(matrix,mid,k,n)) { right = mid; } else { left = mid + 1; } } return left; } //利用雙指標檢查當前mid是否過大（即是否在陣列matrix中比mid大的數超過了k個） private static boolean check (int[][] matrix, int mid, int k, int n) { int i = n-1; //指示行座標 int j = 0; //指示列座標 int num = 0; while (i >= 0 && j < n) { if (matrix[i][j] <= mid) { j++; num += (i+1); } else { i--; } } return num>=k; } ``` Q1：考慮```check```函式，為什麼要```matrix[i][j] <= mid```而不是```matrix[i][j] < mid```？ A：因為陣列matrix中可能會出現重複的數字，加入第k小的數字也重複了，形如```1，2，3，3，3，3，3，5，6```第5小的數字，那第3和第4個數字等於3，當卻確實在第5小的數字之前。
Q2：考慮```check```函式，為什麼要```return num >= k```而不是```return num > k```？ A：因為left和right以及mid是從最小到最大的數之間的任意一個數，所以並不能保證它們就一定是陣列中存在的數，如果某個mid能保證小於等於它的數恰好為k個，則第k小的數就是它之前最近的一個存在於陣列中的數。所以當此時不大於mid的數大於或 等於k個時，就可以保證要求的```第k小的數```一定在mid或mid之前，故而將right移動到mid處。
Q3：考慮```kthSmallest```函式，為什麼```check```函式返回為真就左移，假就右移？ A：設定第k小的數為res，當mid在res左邊時，此時陣列中不大於mid的數會因為少了res而小於k，因為res是第k個，所以left會右移，以求使mid右移。當mid在res右邊時或者就剛好等於res時，此時陣列中大於等於mid的數會等於或超過k個，由於res為第k個，而mid又在其右或等於，所以此時陣列中不大於mid的數至少為k個，所有使right左移，使得mid左移。
Q4：考慮```kthSmallest```函式，為什麼能保證最後left指向的就是陣列中的元素呢？ A：根據```check```函式返回的情況不斷將左右指標逼近res，mid總是在res左右橫跳，帶動left和right逼近res，而mid終會有一次等於res，此時不大於mid的數大於或等於k個，右指標左移到res上，這時的mid總是小於res，而導致不大於mid的數目小於k，左指標右移，左右指標相鄰時，下一次左指標移動，必定移動到res上，```left == right```，跳出迴圈。
Q5：考慮```kthSmallest```函式，為什麼```right = mid```，而```left = mid+1```呢？ A：這是由於除法向下取整而導致的二分查詢的特性，假設此時```left=2，right=3```，則```mid=2```，如果```left = mid```，則會一直原地打轉。如果```right = mid-1```，則可能此時的```mid == res```（mid==res時必定是右指標左移，參考Q3），右指標就會移動到res之前，從而錯過正解。 ## 優化解法 ​ 繼續回到這個題，看完前面前置的討論後相信對解答這個題會有很大幫助。如題目給的示例1：```nums = {1，2，3，4}```，這樣我們可以構造出它的非空連續子陣列的和矩陣如下：  ​ 第1行是以1開頭的子陣列的和，分別對應```1；1,2；1,2,3；1,2,3,4```，第2行是以2行開始的子陣列的和，以此類推，觀察此陣列發現，這個陣列從左到右以此遞增，從上到下以此遞增，看到這應該就明白了上面那個前置討論的意義了。 ​ 先確定我們的大思路：題目要求構造一個非空連續子陣列的和，在這個新陣列中從left到right的元素之和，那我們可以參考前置討論裡的方法先得到前```left-1```大的數字，然後計算前```left-1```個數字之和記為```f(left-1)```，再同理計算前right個數字之和記為```f(right)```，最後答案就是```f(right) - f(left-1)```。

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計算第k小的數字時候構造以1開始的字首和陣列```sums```，陣列大小為n+1，我們實際有意義的從1開始，陣列的第0個初始化為0，這樣就不需要構建整個二位陣列了，而計算第2行的時候，發現第2行的每列數字對應上一行相應列的數字只是少了```sums[1]```，第三行相比第一行來說就是少了```sums[2]```，所以只需用第一行的數字依次減去```sums[i]```就是第i行的各數，比如第二行的5就等於```sums[3] - sums[1] = 6 - 1```。 ```java /** * 獲取小於mid的數的個數 * @param sums 原陣列的字首和 * @param n 原陣列的大小 * @param mid 二分法中的當前mid * @return 返回嚴格小於mid數的個數 */ private int getCnt (long[] sums, int n, int mid) { int res = 0; //返回的個數 for (int i = 0, p = 1; i < n; i++) { while (p <= n && sums[p] - sums[i] <= mid) { p++; } //因為每次符合都對p++，所以當最後一次符合條件後也對p進行了加1操作，而加1後p已經指向了最後一個符合條件的下一個數，所以還要給p-1 res += p-1-i; } return res; } /** * 利用二分查詢獲取第k小的數 * @param sums 原陣列的字首和 * @param n 原陣列的大小 * @param k 第k小 * @return 返回第k小的數 */ private int getKth (long[] sums, int n, int k) { int left = 0, right = Integer.MAX_VALUE; //二分查詢指示左右的兩個指標 while (left < right) { int mid = left + ((right-left) >> 1); if (getCnt(sums, n, mid) >= k) { right = mid; } else { left = mid + 1; } } return left; } ``` ​ 我們設計一個```getSum(k)```這個函式，就是上述的f函式，用來計算前k小的數字之和，計算時我們使用字首和陣列，並構造一個字首和的字首和陣列，如下示例：  ​ 此時我們已經得到了第k小的數字，要計算前k小的所有數字之和，考慮到第k小的數字會有重複大小的數字，所以分開計算，明確一點：我們已經得到第k小個數字，假設為6，前k小的數字為```1,2,3,6,6,6```，可能後面還有幾個6，不過由於k個數的限制，並不納入計算，所以我們先計算嚴格小於6的數字之和以及這些數字的個數記為cnt，然後加上```(k-cnt) * 6```。 ​ 我們構造出了字首和陣列sums和字首和的字首和陣列ssums  ​ 這樣以來如果我們要計算第1行的```sums[2]+sums[3]```的和，由於```ssums[3] = sums[1] + sums[2] + sums[3]```，而```ssums[1] = sums[1]```，所以```sums[2] + sums[3] = ssums[3] - ssums[1]```。 ​ 但是，我們如果要計算第2行的2+5要如何計算呢，通過