算法系列-動態規劃(3)：找零錢、走方格問題
**羅拉**
八哥，這錢不錯，給幾張給我玩玩|**八哥**
姐姐，這是錢，我的投資，怎麼能隨便玩
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**羅拉**
我就玩兩天，又不會弄壞|**八哥**
這有啥好玩？你又不是沒見過
| | |**羅拉**
真小氣,玩下能少塊肉？|**八哥**
話是這麼說沒錯，可是我還沒捂熱呢~
這樣吧，雖然我的也是你的，但是你總要付出點啥吧，不然我純虧
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**羅拉**
怎麼？要我買？瞧你這出息...|**八哥**
別激動，這哪能啊，談錢多傷感情
我用這錢出道題，你答得出來，這錢歸你了
答不出來，就讓我再捂幾天，怎樣？
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**羅拉**
行，沒問題，但是不能超出我能力範圍|**八哥**
這...,好吧
os:豈不是註定我血虧？？？
| --- #### 找零錢的方式 錢？她能力範圍？又不太簡單？動態規劃？八哥腦子一動，馬上就想到一個題目。 於是，虎軀一震，眉頭一舒，摸摸下巴，點點頭。 “有了，羅拉請聽題” “你看，我這裡的舊幣有面值``{1,5,10}``的，假設我這裡每種幣值數量都無限，請問我如果要湊成10元有幾種方法？” “就這？”羅拉聽罷，不屑道。 “別急，這只是最簡單問題，後面還有幾個呢，保證一系列問題。”八哥一副奸計得逞的嘴臉。 “行吧，這有何難，組成十元，有以下幾種。”羅拉自信滿滿。 “第一種：我用10張一元”； “第二種：我用2張五元”； “第三種：我用1張十元”； “第四種：我用1張五元和5張一元”； “一共就這四種，沒錯吧”。 “嘖嘖，厲害呀羅拉，直接列舉出來了，你數學一定是數學老師教的。”八哥一副死豬不怕開水燙的樣子。 “咦...,別陰陽怪氣的，趕緊後面的問題，說好了，和前面一系列的，別換題目”羅拉嫌棄地擺擺手。 “放心，絕對是一系列的，而且是親生兒砸，請聽題”，八哥正聲道。 “請問，用上述的紙幣分別湊成50元，100元，1000元分別有幾種方法？”。 “你丫存心的吧，這我要算到什麼時候，你要是再來個10000，我直接認輸得了？”。羅拉這火爆脾氣可忍不了。 “誰讓你手算了，你可以把這個當成面試題，實現一個演算法試試？”八哥啞然失笑。 “演算法？演算法也許能實現，但是超出我現在能力範圍好吧，這個不符合要求。”羅拉忿忿道。 “不對啊，這怎麼超出你能力範圍呢，前兩天不是剛跟你說了那啥嗎？你難道忘了？”八哥瞪大眼睛一副不敢置信的樣子。 “前兩天？動態規劃？”羅拉恍然大悟。 “對啊，這貨長得不夠動態？以致你認不出來？算了不扯了，你按照動態規劃的思路先分析分析吧。”八哥無奈道。 接下來，羅拉一頓分析猛如虎： “嗯，我試試”。 “首先，我有``{1,5,10}``三種幣值，如果湊出``n``的組合數量有``f(n)``” ； “那麼接下來我就得拆分``f(n)``，將他分成更小的子問題”； “由於我的幣值只有三種，所以只能拆出``f(n-1),f(n-5),f(n-10)``”; “又因為，這三種都是可以得到``f(n)``,所以他們之間的關係為``f(n) = f(n-1) + f(n-5) + f(n-10)``” “最後得考慮邊界值，邊界的起始是``n=1``，此時可選的方案``f(1)=1``”。 “不對哦，你想想起始真的是``n=1``嘛？” 羅拉分析得正深入的的時候，八哥打斷了她的思路。 “不是嗎？``1 ``是我們可以直接確定的吧？”羅拉不解。 “``1 ``是可以直接確定沒錯，更準確地說是我們能夠一眼看出。如果我要求``5``，我們很容易得到五個``1``和一個``5``兩個方案吧，你把``5``代入你那個公式試試？”。 “``n=5?,f(5) = f(5-1) + f(5-5) = f(4) + f(0)``” “咦，還有個``f(0)``,也就是說``f(1)=f(1-1)=f(0)``,這裡漏了，``0``應該也是一種選擇,所以初始狀態應該是湊``0``,並且只有1種選擇。”羅拉恍然大悟。 “是的，所以現在可以寫出程式碼了吧？” “嗯，稍後，這次不講碼徳直接可以寫個完全版的了”羅拉自通道。 於是一頓鍵盤噼裡啪啦，程式碼出爐。 ``` public class Coin { public static void main(String[] args) { System.out.println("湊成10塊的方案有："+change(10) + "種"); System.out.println("湊成10000塊的方案有："+change(10000) + "種"); } public static int change(int target) { int[] coins = {1, 5, 10}; int[] dp = new int[target + 1]; dp[0] = 1; for (int coin : coins) for (int x = coin; x <= target ; x++) { dp[x] += dp[x - coin]; } return dp[target]; } } //輸出結果 湊成10塊的方案有：4種 湊成10000塊的方案有：1002001種 ``` 八哥瞄了一眼 “不錯，挺熟練了，不過這個不算是自己想出來的吧，我赤裸裸的提示了吧？我換一個角度再問一下不過分吧？” “額，可以，你問吧”羅拉老臉一紅，自知理虧，只得答應八哥的要求。 --- #### 找零錢的最佳方案 “好，現在的問題是，我要湊出n，至少要多少張紙幣？做出來，我這寶貝就給你捂幾天又何妨？”。八哥撩一撩頭髮，笑道。 “行，我想想，大概知道怎麼做了，我分析下先”，羅拉不甘示弱。 “首先對於一個``f(n)``,我的結果可以來自``f(n-1),f(n-5),f(n-10)``這點和之前一樣。” “不一樣的地方在於我們現在不是求和而是求最小值。” “所以，``f(n) = min(f(n-1),f(n-5),f(n-10)) + 1``” “最後再確定一下邊界，初始值應該是``0``,``f(0)=0``”。 “嗯，分析的沒錯，show me your code。”八哥點點頭。 “等等，馬上。”羅拉一喜，馬上開始舞動鍵盤。 啪啪兩分鐘，程式碼出爐。 ``` public class Coin { static int[] coins = {1, 5, 10}; public static void main(String[] args) { System.out.println("湊成55塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(55) + "張"); System.out.println("湊成999塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(999) + "張"); System.out.println("湊成1000塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(1000) + "張"); } public static int minCoinCnt(int target) { int[] dp = new int[target + 1]; //湊成0元需要0張 dp[0] = 0; for (int x = 1; x <= target; x++) { dp[x] = Integer.MAX_VALUE; for (int coin : coins) { //fn(n) = min(f(n-1),f(n-5),f(n-10)),注意f(n)的n要大於等於0，所以需要(x-coin>=0) //選擇紙幣叫小的方案 if (x - coin >= 0) dp[x] = Math.min(dp[x], dp[x - coin] + 1); } } return dp[target]; } } //輸出結果 湊成55塊至少需要的紙幣為：6張 湊成999塊至少需要的紙幣為：104張 湊成1000塊至少需要的紙幣為：100張 ``` “嗯，可以，我還以為你會按照之前的迴圈來寫呢，想不到沒入坑。” 八哥悻悻道。 “哼，我又不傻，公式我都寫出來，還怕寫不出程式碼？哈哈，趕緊的，願賭服輸，把你寶貝給我捂幾天。”羅拉一副小人得志的樣子。 “諾，拿去，你可要好好保護它們啊。”在把錢交出的瞬間，八哥心如刀割。沒辦法，即使不打賭也得交出去。哎.... ---- ### 走方格 三天後，晚上六點，羅拉下班回到家了，略帶笑容，顯然心情不錯。 “咦，羅拉今天怎麼這麼早？有啥開心事，看你樂得。”八哥疑惑 “今天事情工作比較簡單，所以沒那麼忙，今天公司下午茶玩遊戲，贏了點零食。”羅拉想到開心的事情，不覺語氣歡快起來了。 “遊戲？啥遊戲？” “走方格，從一個格子走到另一個格子有多少種走法。我答得比較快。碾壓同事”羅拉一副快誇我的樣子。 “走方格？是不是從左上角到右下角，只能向下或向右的走法，像這樣的？”八哥好像想起了什麼，拿起紙筆隨手花了一個圖。  “是的，你知道？要不我們玩玩？”羅拉看了一眼，羅拉顯然對自己很自信。 “好啊，不過得來點彩頭吧。” “喲，說的好像你已經贏了似的，你想要啥彩頭？” “那啥，舊幣你把玩了三天了，是不是該讓我捂一下了？” “原來你打的是這主意...”羅拉沒好氣地說道。 “不過也無所謂，我覺得我不會輸，這樣，我們各寫一組陣列``(l1,l2)和(b1,b2)``，分別組成``l1 * b1,l2 * b2 ``的格子，然後計算，看誰先算出兩個，一局定勝負，可以吧？”。 “嗯，很公平，我沒問題，開始吧。” 八哥胸有成竹。 ---- #### 走方格（走法數量） 不一會兒，兩人都把紙條寫好了。 攤開紙條 羅拉寫的是``(3,6)`` 八哥寫的是``(7,5)`` “我們現在要計算``3 * 7 ,6 * 5``的方格走法，即使開始”。羅拉說完，拿起紙筆，畫了起來，贏在了起跑線。 30秒後 “嘿嘿，分別為 28 和 126”，不到一分鐘，八哥邊說出了答案。 “你瞎說的吧，我第一個都還沒算完呢，你兩個都完了？” “山人自有妙計，你輸了” “等我算完再說，誰知道你的對的還是錯的？” “可是你要是自己算錯了或算很久那不是浪費時間？” “不然捏，我總得驗證結果吧？”羅拉忍不住翻白眼。 “看你畫了這麼多圖，挺辛苦的，動動腦子，我要是在你公司，今天這遊戲就通殺了？” “咦，難道有規律？”羅拉自動忽略八哥的後半句話。 “你三天前怎麼贏得我的舊幣的？你想想？” “贏錢？打賭啊，不對，難道是動態規劃？” “是啊，你怎麼每次都得提醒才想得起來啊”八哥無奈道。 “誰知道你連這都埋個坑？行了，我知道接下來該分析分析了。” “假設到最右下角的方式有``f(n)``,由於只能往左邊或下面走，所以``f(n)=f(上邊)+f(左邊)``” “嗯...其實用二維陣列表示好像更好，應該表示為``dp[x][y]=dp[x-1][y]+dp[x][y-1]``” “接下來就是子問題的計算，直到邊界” “這裡的邊界，應該是有沿著牆邊走，因為只能向左或向右，所以``dp[x][0]=0,dp[0][y]=0``” “接下來程式碼實現” ``` public class WalkGrid { public static void main(String[] args) { System.out.println("3*7方格走法共有："+walk(3,7)+" 種"); System.out.println("5*6方格走法共有："+walk(5, 6)+" 種"); } public static int walk(int n, int m) { int[][] dp = new int[n][m]; //定義邊界 for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][0] = 1; for (int i = 0; i < m; i++) dp[0][i] = 1; //雙重迴圈，計算dp陣列的值 for (int i = 1; i < n; i++) for (int j = 1; j < m; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; return dp[n - 1][m - 1]; } } //輸出結果 3*7方格走法共有：28 種 5*6方格走法共有：126 種 ``` “咦你的答案沒錯誒。不對，你沒寫程式碼，而且一分鐘都不到，這肯定不是最快的。”羅拉突然醒悟。 “對於這個題目，當然不是最快的，你想一下，對於``n * m``的格子，我一共要走多少步？向上多少，向下多少？” “向下是``n-1``，向右是``m-1``,一共是``m + n - 2``,可是這個和你算得快沒啥關係吧？”羅拉不解 “誰說沒關係，一共``m + n - 2``,我只要確定向下或向右走的，另一個方向的是不是也確定了？換言之，就是``m + n - 2``中選``n - 1`` 或 ``m - 1``吧，你發現了什麼？” “從總數裡面選出某些...吖，是排列組合的組合，這是一個數學問題”羅拉恍然大悟。 “是的，這裡可以看成是組合問題，通過組合共識，10以內的分分鐘就算出來了不過分吧，你甚至可以試著程式碼實現”八哥得意說道 “行吧，我試試，你就是想我寫程式碼吧，我想一下組合公式``組合數計算方法，從N項中選出M項:f(n,m) = n! / ((n - m)! * m!) ``” “程式碼就是這樣” ``` public class WalkGrid { public static void main(String[] args) { System.out.println("3*7方格走法共有：" + cal(3, 7) + " 種"); System.out.println("5*6方格走法共有：" + cal(5, 6) + " 種"); } public static int cal(int n, int m) { int tot = m + n - 2; int res = 1; int max = Math.max(m - 1, n - 1); //公式中tot！與max！部分可以抵消max！部分，減少計算量 for (int i = tot; i > max; i--) res *= i; for (int i = 1; i <= tot - max; i++) res /= i; return res; } } //輸出結果 3*7方格走法共有：28 種 5*6方格走法共有：126 種 ``` > 公式中的``f(n,m) = n! / ((n - m)! * m!)`` 可以化簡為``f(n,m) = n*(n-1)*(n-2)...*(m+1) / (n - m)! ``就是程式碼中max優化的原理 “算我輸了，你寶貝等下就還你，話說這個豈不是用數學方法更快？”羅拉賭品還是可以的。 “所以我說了對於這個問題是個樣啊，我只要稍微變化一下，公式就不好使了” “是嗎？舉個栗子看看” 羅拉來了興趣。 “行，看在你賭品不錯的份上，舉了例子” --- #### 走格子最短路徑 “從前有個公主，被魔王抓了，關在魔窟” “一個勇敢王子準備前往魔窟營救公主，這個過程充滿危險，稍有不慎就會有生命危險。” “魔王在王子的必經之路上佈滿了陷阱，每一個陷阱都會對王子造成傷害，地圖如下所示”  “王子開始在左上角，每次只能往左或往右走一步，由於魔王布了陷阱，每走一步都會失去部分生命值” “王子有初始生命，請問王子能否成功救出公主”？ “這案例就沒法用排列組合來做了，應為不是每個格子都是一樣的數字了。”八哥不緊不慢的舉了個例子。 “好像是誒，排列組合有點難，感覺動態規劃挺好做的吧”羅拉想了一會，還是放棄用排列組合了。 “是的，你可以試試動態規劃怎麼做唄。” “嗯，我看看，也做了好多題了，看看能不能獨立做出來，你別給我提示了，我先理一下” 看來羅拉幹勁十足啊。 “王子有初始血量，想要成功就出公主就不能半路給跪了” “要救出公主，只要我失去的生命值小於初始生命值，就可以了” “只要求出所有路徑算損失生命值的最小值和王子初始生命值做對比，就可以知道王子有沒有可能救出公主了” “所以這個也是一個求最小值得問題” 羅拉顯然思路很清晰 “接下來就是分析一下動態規劃要怎麼做了” “用``dp[x][y]``記錄走到``(x,y)``時損失的生命值” “由於只能向左或向右，所以相關的子問題為``dp[x][y]=dp[x-1][y]+dp[x][y-1]``” “接下來考慮邊界問題” “向右只有一條路經，所以``dp[x][0]=dp[x-1][0]+(x,0)``” “向下也只有一條路``dp[0][y]=dp[0][y-1]+(0,y)``” “入口，也就是(0,0)應該不損失生命值，所以，dp[0][0]=0” “然後就是編寫程式碼了” “完事，你看看”羅拉用力敲下最後一下鍵盤。 ``` public class SavePrincess { //魔王宮殿 static int palaces[][] = { {0, 6, 9, 10, 12, 15}, {17, 33, 32, 8, 21, 20}, {3, 44, 11, 20, 1, 0}}; public static void main(String[] args) { int init = 50;//初始生命值 int min = save(); System.out.println("王子初始血量為:" + init + "， " + (min - init >= 0 ? "不能" : "能") + "救出公主"); init = 80;//初始生命值 System.out.println("王子初始血量為:" + init + "， " + (min - init >= 0 ? "不能" : "能") + "救出公主"); System.out.println("就出公主的損失生命值得最小值為:" + min); } /** * 拯救公主的最低損失生命值 * @return */ public static int save() { int n = palaces.length; int m = palaces[0].length; int[][] dp = new int[n][m]; //起始位置為0 dp[0][0] = 0; //向下初始化 for (int i = 1; i < n; i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + palaces[i][0]; //向右初始化 for (int i = 1; i < m; i++) dp[0][i] = dp[0][i - 1] + palaces[0][i]; for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 1; j < m; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + palaces[i][j]; } } return dp[n - 1][m - 1]; } } //輸出結果 王子初始血量為:50， 不能救出公主 王子初始血量為:80， 能救出公主 就出公主的損失生命值得最小值為:54 ``` “嗯，不錯，看來動態規劃你掌握的不錯了。”八哥看了看結果，點頭笑道。 “做多了幾道題，感覺就這麼回事，沒啥難度。”羅拉不免翹起了尾巴。 “別開心的太早，明天我找個經典案例給你試試？”八哥不懷好意道 “沒問題，今晚出去吃吧，難得這麼早下班。” “好啊，等下，我先把寶貝放好先”。 歡迎關注【兔八哥雜談】，會持續分享更多內容.