影象處理中的濾波

影象處理 · 發表 2018-10-07 11:43:32

摘要：濾波（Wave filtering）是將訊號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。在影象處理中，濾波是影象預處理的一種。影象處理中濾波將訊號中特定的波段頻率濾除，從而保留所需要的波段頻率訊號。根據選擇保留的不同頻段可以體現這麼兩個作用消除影象中混入的噪聲對應...

濾波（Wave filtering）是將訊號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。在影象處理中，濾波是影象預處理的一種。影象處理中濾波將訊號中特定的波段頻率濾除，從而保留所需要的波段頻率訊號。根據選擇保留的不同頻段可以體現這麼兩個作用

消除影象中混入的噪聲

對應的是低通濾波，噪聲在影象中一般是高頻訊號。

為影象識別抽取出影象特徵

這裡的特徵一般為邊緣紋理的特徵，對應的是高通濾波，影象中邊緣和紋理細節是高頻訊號。

濾波的分類

影象中濾波演算法的分類有很多，可以分為線性濾波和非線性濾波，可以分為相關濾波和卷積濾波，還可以分為高通濾波和低通濾波，空間濾波和頻域濾波。

線性濾波和非線性濾波

線性濾波

維基百科解釋為：用於時變輸入訊號的線性運算，在影象處理中可以這麼理解，對於輸入的訊號（即要處理的影象),進行的是線性的運算，得出的結果作為輸出影象。可以參考下圖

首先有一個濾波器的模板（這裡是3x3大小），模板裡有係數，f(x,y）的值等於模板係數與f(x,y)周圍一的畫素點相乘求和，這個運算是線性的。線上性的濾波器中，運算的不同即為濾波器的係數模板不同。

線性濾波的包含方框濾波、均值濾波、高斯濾波、拉普拉斯濾波、sobel運算元等。

非線性濾波

輸出的訊號響應是由輸入經過非線性的運算得到的。比如典型的中值濾波，就是取畫素點鄰域的中值作為畫素的的響應輸出。

非線性濾波包含中值濾波和雙邊濾波。

卷積濾波和相關濾波

首先要注意的是卷積濾波和相關濾波都屬於線性濾波，兩者的區別是加權係數的對應相乘順序有所不同。

高通濾波和低通濾波

高通濾波與低通濾波之分是相對於濾波的目的而言的，簡而言之，高通濾波器就是去除影象中的低頻部分，保留高頻。表現就是經高通濾波後，保留了影象的高頻邊緣和紋理細節，所以高通濾波對應的是影象的銳化。低通濾波則是相反的，處理的結果是保留低頻部分去除高頻部分，在影象上的表現是紋理細節都被模糊了，所以低通濾波對應的是影象的平滑模糊。

空間濾波和頻域濾波

空間濾波即直接在畫素座標上對影象資料進行處理濾波，頻域濾波則是先把影象由空間域變換到頻域，在頻域進行處理，結束以後再由頻域變換會空間域。

下面是幾個具體的濾波演算法的例子

方框濾波

方框濾波，線性濾波里面最簡單的一個。即用一個已確定的模板係數去與畫素點領域相乘，所得結果即為畫素點的響應。

均值濾波

均值濾波則是方框濾波的特例，將方框濾波的係數模板歸一化之後便是均值濾波

可以看到，均值濾波的結果是取畫素點周圍領域的平均值作為響應輸出。

高斯濾波

高斯濾波的模板係數就稍顯複雜，其模板係數是服從高斯分佈的。

先看看一維的高斯分佈

二維的高斯分佈

所以高斯濾波的模板係數，應該服從上圖中的錐形山峰。那如何計算高斯分佈的模板係數呢，我們取均值為模板的中心點，計算公式如下

這裡附上程式碼

std::vector<std::vector<double> >getModel(const int& n, const double& sigmma)//求解nxn的模板係數
{
const double pi = 3.1415926;
const double weight = 1.0 /(2.0 * pi * sigmma * sigmma);//gaussion公式中的係數

double sum = 0.0;
std::vector<std::vector<double>> res(n, std::vector<double>(n, 0.0));

for(int i = 0;i < n; ++i)
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
res[i][j] = weight * std::exp(-((i - n / 2) * (i - n / 2) + (j - n / 2)*(j - n / 2)) / (2.0*sigmma*sigmma));//n/2為公式中都均值，即原點在影象中心
}

return res;
}

假如不想手動計算高斯濾波的模板係數，也可以取模板的近似值作為模板。如3x3和5x5的模板可以取

拉普拉斯運算元

拉普拉斯濾波屬於高通濾波，運算元定義為

下面由運算元推導計算模板係數

在x方向上，二階導數的微分可以由差分近似表示，有

類似地，在y方向上有

所以拉普拉斯運算元在離散的情況下，可以近似為

那麼可以得矩陣的模板係數

還有一般常用的拉普拉斯模板

Roberts運算元

Roberts運算元比較簡單，使用2x2的領域

計算響應值的方式如下

sobel運算元

Robinson運算元

Kirsch運算元

以上所有有的運算元都屬於線性濾波，在得到離散情況下的運算元模板係數之後，就可以用這個模板去對影象進行操作，使用模板係數去遍歷影象，操作可以選擇卷積或者相關。這些運算元也稱卷積掩模。

這裡先給出二維卷積的程式碼實現

//二維卷積的實現
#include<cassert>
#include<vector>


void conv2(int** filter, int **mat, int** res, const int filter_rows, const int filter_cols, const int mat_rows, const int mat_cols);//指標陣列版本
std::vector<std::vector<int> > conv2(std::vector<std::vector<int> > filter, std::vector<std::vector<int> > mat);//向量版本


int main(void)
{
return 0;
}//main

void conv2(int** filter, int **mat, int** res, const int filter_rows, const int filter_cols, const int mat_rows, const int mat_cols)
{
assert(filter_cols < mat_cols && filter_rows < mat_rows);
for(int i = 0; i < mat_rows - 1; ++i)
for (int j = 0; j < mat_cols - 1; ++j)
{
int tmp = 0;
for (int m = 0; m < filter_rows; ++m)
for (int n = 0; n < filter_cols; ++n)
if(0 <= i -m&& i - m < mat_rows && 0 <= j - n && j - n < mat_cols)
tmp += filter[m][n] * mat[i - m][j - n];//卷積公式

res[i][j] = tmp;
}
}

std::vector<std::vector<int> > conv2(std::vector<std::vector<int> > filter, std::vector<std::vector<int> > mat )//向量版本
{
const int filter_rows = filter.size();
const int filter_cols = filter[0].size();

const int mat_rows = mat.size();
const int mat_cols = mat[0].size();

assert(filter_cols < mat_cols && filter_rows < mat_rows);
std::vector<std::vector<int> > res(mat_rows, std::vector<int>(mat_cols, 0));

for (int i = 0; i < mat_rows - 1; ++i)
for (int j = 0; j < mat_cols - 1; ++j)
{
int tmp = 0;
for (int m = 0; m < filter_rows; ++m)
for (int n = 0; n < filter_cols; ++n)
if (0 <= i - m && i - m < mat_rows && 0 <= j - n && j - n < mat_cols)
tmp += filter[m][n] * mat[i - m][j - n];//卷積公式

res[i][j] = tmp;
}
return res;
}

然後以高斯濾波為例，給出這些模板係數卷積濾波的實現

void mycv::gaussianFilter(cv::Mat& src, cv::Mat& dst)
{
const int rows = src.rows;
const int cols = src.cols;
dst = cv::Mat(src.size(), src.type(), cv::Scalar::all(0));

std::vector<std::vector<double>> gauss = getModel(3);//3x3模板係數

switch (src.channels())
{
case 1://灰度圖
for(int i = 0; i < rows -1; ++i)
for (int j = 0; j < cols - 1; ++j)
{
double tmp = 0.0;
for(int m = 0; m < gauss.size(); ++m)
for (int n = 0; n < gauss[0].size(); ++n)
{
if (i - m >= 0 & i - m < rows && j - n >= 0 && j - n < cols)
tmp += gauss[m][n] * static_cast<double>(src.at<uchar>(i - m, j - n));//卷積公式
}

dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<int>(tmp);
}
break;
case 3://彩色
for (int i = 0; i < rows - 1; ++i)
for (int j = 0; j < cols - 1; ++j)
for (int k = 0; k < 3; ++k)
{
double tmp = 0.0;
for (int m = 0; m < gauss.size(); ++m)
for (int n = 0; n < gauss[0].size(); ++n)
if (i - m >= 0 & i - m < rows && j - n >= 0 && j - n < cols)
tmp += gauss[m][n] * static_cast<double>(src.at<cv::Vec3b>(i - m, j - n)[k]);//卷積公式

dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[k] = static_cast<int>(tmp);
}
break;
default:
break;
}
}