[CEOI2015 Day2]世界冰球錦標賽（折半搜尋）

軟體開發 · 發表 2018-10-21 21:54:00

摘要： [CEOI2015 Day2]世界冰球錦標賽題目描述譯自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」今年的世界冰球錦標賽在捷克舉行。 $Bobek$ 已經抵達布拉格，他不是任何團隊的粉絲，也沒有時間觀念。他只是單純的想...

[CEOI2015 Day2]世界冰球錦標賽

題目描述

譯自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」

今年的世界冰球錦標賽在捷克舉行。 $Bobek$ 已經抵達布拉格，他不是任何團隊的粉絲，也沒有時間觀念。他只是單純的想去看幾場比賽。如果他有足夠的錢，他會去看所有的比賽。不幸的是，他的財產十分有限，他決定把所有財產都用來買門票。

給出 $Bobek$ 的預算和每場比賽的票價，試求：如果總票價不超過預算，他有多少種觀賽方案。如果存在以其中一種方案觀看某場比賽而另一種方案不觀看，則認為這兩種方案不同。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行，兩個正整數 $N$ 和 $M(1 \leq N \leq 40,1 \leq M \leq 10^{18})$ ，表示比賽的個數和 $Bobek$ 那家徒四壁的財產。

第二行， $N$ 個以空格分隔的正整數，均不超過 $10^{16}$ ，代表每場比賽門票的價格。

輸出格式：

輸出一行，表示方案的個數。由於 $N$ 十分大，注意：答案 $\le 2^{40}$ 。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

輸出樣例#1：

說明

樣例解釋

八種方案分別是：

一場都不看，溜了溜了
價格 $100$ 的比賽
第一場價格 $500$ 的比賽
第二場價格 $500$ 的比賽
價格 $100$ 的比賽和第一場價格 $500$ 的比賽
價格 $100$ 的比賽和第二場價格 $500$ 的比賽
兩場價格 $500$ 的比賽
價格 $1000$ 的比賽

有十組資料，每通過一組資料你可以獲得 $10$ 分。各組資料的資料範圍如下表所示：

資料組號	1-2	3-4	5-7	8-10
$N \leq $	$10$	$20$	$40$	$40$
$M \leq$	$10^6$	$10^{18}$	$10^6$	$10^{18}$

題解

首先看資料範圍

1-4組資料 $N\leq20$ ，爆搜就可以解決。

inline void dfs(R ll dep,R ll sum){
 if(sum>m)return;
 if(dep==n+1){
ans++;
return;
 }
 dfs(dep+1,sum+a[dep]);
 dfs(dep+1,sum);
}
int main(){
 read(n);read(m);
 for(R int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
 if(n<=20){
dfs(1,0);
printf("%lld\n",ans);
 }
return 0;
}

5-7組資料 $M\leq10^6$ ，裸的揹包啊。

int main(){
 read(n);read(m);
 for(R int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
if(m<=1e6){
f[0]=1;
for(R int i=1;i<=n;i++)
for(R int j=m;j>=a[i];j--)
f[j]+=f[j-a[i]];
for(R int i=0;i<=m;i++)ans+=f[i];
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

現在你已經能拿到70分了（但在洛谷上是47分）

下面引出主角——折半搜尋（meet in the middle思想）

因為 $N\leq40$ $O(2^{40})$ 的爆搜一定會 $TLE$ ，所以我們將 $N$ 分成兩份

搜尋 $1$ 到 $n/2$ 和 $n/2+1$ 到 $n$ ，讓複雜度降到 $O(2^{n/2+1})$ 。

畫一個圖（網上找的不錯的圖）理解一下為什麼能降低複雜度

inline void dfs(R int l,R int r,R ll sum,R ll a[],R ll &cnt){
if(sum>m)return;
if(l>r){
a[++cnt]=sum;
return;
}
dfs(l+1,r,sum+w[l],a,cnt);//選
dfs(l+1,r,sum,a,cnt);//不選
}

將前一半的搜尋狀態存入a陣列，後一半存入b陣列。

mid=n/2;
dfs(1,mid,0,suma,cnta);
dfs(mid+1,n,0,sumb,cntb);

一般 $meet$ $in$ $the$ $middle$ 的難點主要在於最後答案的組合統計。

我們可以現將a或b陣列sort，讓其有序。

然後通過列舉另一個數組中的狀態，來實現統計答案。

上述找 $pos$ 的過程可以通過upper_bound()完成。

sort(suma+1,suma+1+cnta);//使一個數組有序
for(R int i=1;i<=cntb;i++)
ans+=upper_bound(suma+1,suma+1+cnta,m-sumb[i])-suma-1;//統計ans

下面是高清完整code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define ll long long
#define R register
#define N 55
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &a){
char c=getchar();T x=0,f=1;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
a=f*x;
}
ll n,m,w[N],mid,suma[1<<21],sumb[1<<21],cnta,cntb,ans;
inline void dfs(R int l,R int r,R ll sum,R ll a[],R ll &cnt){
if(sum>m)return;
if(l>r){
a[++cnt]=sum;
return;
}
dfs(l+1,r,sum+w[l],a,cnt);
dfs(l+1,r,sum,a,cnt);
}
int main(){
read(n);read(m);
for(R int i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
mid=n>>1;
dfs(1,mid,0,suma,cnta);
dfs(mid+1,n,0,sumb,cntb);
sort(suma+1,suma+1+cnta);
for(R int i=1;i<=cntb;i++)
ans+=upper_bound(suma+1,suma+1+cnta,m-sumb[i])-suma-1;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

這裡還有一道折半搜尋的好題，難度升級—— ofollow,noindex" target="_blank">luogu ，還有my blog.

資料組號	1-2	3-4	5-7	8-10
$N \leq $	\(10\)	\(20\)	\(40\)	\(40\)
\(M \leq\)	\(10^6\)	\(10^{18}\)	\(10^6\)	\(10^{18}\)

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